kaoyan1basic 高等数学 第601题
📝 题目
## 第601题 (高等数学 - 填空题)
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ ，则 $\iint_{\Sigma}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} S=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^4$
解析：
步骤1：$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$。由对称性，$\iint_\Sigma xy dS=0$等，故$\iint_\Sigma (x+y+z)^2 dS=\iint_\Sigma (x^2+y^2+z^2)dS$。
步骤2：在球面上$x^2+y^2+z^2=R^2$，故原积分$=R^2\iint_\Sigma dS=R^2\cdot4\pi R^2=4\pi R^4$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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