kaoyan1basic 高等数学 第616题
📝 题目
## 第616题 (高等数学 - 选择题)
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则
（A）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都收敛。
（B）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都发散。
（C）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 发散。
（D）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 发散而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛。
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{\pi\rho}{2}$
解析：
步骤1：半圆$y=\sqrt{1-x^2}$，线密度$\rho$，对$x$轴转动惯量$I_x=\int_\Gamma y^2 \rho ds$。
步骤2：参数化$x=\cos\theta, y=\sin\theta$，$\theta$从$0$到$\pi$，$ds=d\theta$，$\displaystyle I_x=\rho\int_0^\pi \sin^2\theta d\theta = \rho\cdot\frac{\pi}{2}$。
难度：★★☆☆☆