kaoyan1basic 高等数学 第618题
📝 题目
## 第618题 (高等数学 - 选择题)
现有关于级数的如下四个结论：
（1）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
（2）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（3）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
（4）设 $a_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ 且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 存在，又 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．
其中正确的是
（A）（1），（2）．
（B）（1），（3）．
（C）（3），（4）．
（D）（2），（4）．
💡 答案解析
答案：D
解析：
步骤1：判断(1)错误。反例：$\displaystyle a_n = \frac{1}{n}$，满足$a_{n+1}/a_n < 1$，但$\displaystyle \sum \frac{1}{n}$发散。
步骤2：判断(2)正确。由$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$，存在$N$使$n>N$时$a_{n+1} > a_n$，通项不趋于0，故级数发散。
步骤3：判断(3)错误。反例：$a_n = (-1)^{n-1}$，则$a_{2n-1}+a_{2n}=0$，级数收敛，但$\sum a_n$发散。
步骤4：判断(4)正确。由$\sum a_n$收敛得$a_n \to 0$，又$\lim n a_n$存在，设为$l$，若$l>0$则$\sum a_n$发散，矛盾，故$l=0$。
难度：★★☆☆☆