kaoyan1basic 高等数学 第634题
📝 题目
## 第634题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处六阶导数 $f^{(6)}(0)$
（A）不存在．
（B）等于 $\displaystyle -\frac{1}{6}$ ．
（C）等于 $\displaystyle \frac{1}{56}$ ．
（D）等于 $\displaystyle -\frac{1}{56}$ ．
💡 答案解析
答案：D
解析：
步骤1：$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$，$x\neq 0$，$\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}$，$f(x)$在$x=0$处解析。
步骤2：利用$\displaystyle \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$，则$\displaystyle 1-\cos x = \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots$。
步骤3：$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2!} - \frac{x^2}{4!} + \frac{x^4}{6!} - \cdots$，故$x^4$项系数为$\displaystyle \frac{1}{6!} = \frac{1}{720}$。
步骤4：$\displaystyle f^{(6)}(0) = 6! \times \frac{1}{720} = 720 \times \frac{1}{720} = 1$，但注意符号：展开式第三项为$\displaystyle +\frac{x^4}{6!}$，对应$f^{(4)}(0)/4! = 1/720$，故$f^{(4)}(0)=4!/720=24/720=1/30$。六阶导数需看$x^6$项，但展开到$x^4$，实际$f(x)$的泰勒展开中$x^6$项系数为$\displaystyle -\frac{1}{8!}$，故$f^{(6)}(0) = -6!/8! = -1/56$。
难度：★★★☆☆