kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
【基础篇】第14题（填空题）
14． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{2}-x \ln (1+x)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$\displaystyle -\frac12$
解析：
步骤1：分子有理化：$\displaystyle \sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}=\frac{\tan x-\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}\sim\frac{\frac12 x^3}{2}=\frac{x^3}{4}$。
步骤2：分母$\displaystyle x^2-x\ln(1+x)=x^2-x(x-\frac{x^2}{2}+o(x^2))=\frac{x^3}{2}+o(x^3)$。
步骤3：极限为$\displaystyle \frac{\frac14}{\frac12}=\frac12$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
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