kaoyan1basic 高等数学 第8题

教材习题

📝 题目

【强化篇】第8题（解答题）
8．已知数列 $\left\langle x_{a}\right\rangle$ 满足 $\displaystyle 0（1）证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，井求其值；
（2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \cdots}\left(\frac{1}{x_{n}^{\frac{3}{n}}}-\frac{1}{x_{n} I_{n+1}}\right)$ ，

💡 答案解析

答案：
(1) $\lim_{n\to\infty}x_n=0$
(2) $\displaystyle \frac{1}{3}$
解析：
(1) 步骤1：由$x_{n+1}+\tan x_n=2x_n$得$x_{n+1}=2x_n-\tan x_n$。设$g(x)=2x-\tan x$，$\displaystyle 0(2) 步骤2：由$x_{n+1}=2x_n-\tan x_n$，利用$\displaystyle \tan x_n=x_n+\frac{x_n^3}{3}+o(x_n^3)$，得$\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3}{3}+o(x_n^3)$，故$\displaystyle \frac{1}{x_{n+1}^2}-\frac{1}{x_n^2}=\frac{2}{3}+o(1)$，求和得$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n x_n^2}=\frac{2}{3}$，即$\displaystyle x_n\sim\sqrt{\frac{3}{2n}}$。所求极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{x_n^2}-\frac{1}{x_n x_{n+1}}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{x_n^2 x_{n+1}}=\frac{1}{3}$。
难度：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明数列极限存在并求值
由递推式 x_{n+1} + tan x_n = 2x_n 得 x_{n+1} = 2x_n - tan x_n。设 g(x)=2x - tan x，当 0
公式：x_{n+1} = 2x_n - \tan x_n, \quad \tan A = A
提示：利用单调有界准则，注意 tan x 在 (0,π/4) 的性质。
步骤 2/2
目标：求极限 lim (1/x_n^2 - 1/(x_n x_{n+1}))
由 x_{n+1} = 2x_n - tan x_n，将 tan x_n 展开：tan x_n = x_n + x_n^3/3 + o(x_n^3)，代入得 x_{n+1} = x_n - x_n^3/3 + o(x_n^3)。于是 1/x_{n+1}^2 - 1/x_n^2 = 2/3 + o(1)。求和得 1/(n x_n^2) → 2/3，即 x_n ~ √(3/(2n))。所求极限为 lim (x_{n+1} - x_n)/(x_n^2 x_{n+1}) = 1/3。
公式：\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3), \quad \frac{1}{x_{n+1}^2} - \frac{1}{x_n^2} = \frac{2}{3} + o(1)
提示：利用泰勒展开和 Stolz 定理或求和技巧。

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