kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
【强化篇】第2题（选择题）
2．设 $f\left(x+x_{0}\right)=a f(x)$ 恒成立，$f^{\prime}(0)=\beta\left(\alpha, \beta\right.$ 为非零常数），则 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处（ ）。
（A）可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\alpha \beta$
（B）可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\alpha$
（C）可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\beta$
（D）不可导
💡 答案解析
答案：A
解析：步骤1：由$f(x+x_0)=\alpha f(x)$，令$x=0$得$f(x_0)=\alpha f(0)$。
步骤2：由导数定义，$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\alpha f(h)-\alpha f(0)}{h}=\alpha f'(0)=\alpha\beta$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用已知恒等式求f(x0)与f(0)的关系
由 f(x+x0)=α f(x) 恒成立，令 x=0，得 f(x0)=α f(0)。
公式：f(x0)=α f(0)
提示：注意恒等式对任意x成立，可代入特殊值。
步骤 2/2
目标：利用导数定义求f'(x0)
由导数定义，f'(x0)=lim_{h→0} [f(x0+h)-f(x0)]/h。将f(x0+h)=α f(h)和f(x0)=α f(0)代入，得f'(x0)=lim_{h→0} [α f(h)-α f(0)]/h = α lim_{h→0} [f(h)-f(0)]/h = α f'(0) = αβ。
公式：f'(x0)=α f'(0)=αβ
提示：注意极限过程h→0，利用已知f'(0)=β。
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