kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
【强化篇】第4题（选择题）
4．设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且在点 $x=0$ 处连续，则以下结论：
（1）当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}=0$ 时，$f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导；
（2）当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=0$ 时，$f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导；
（3）当 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}=0$ ．
所有正确结论的序号为（ ）。
（A）（1）
（B）（2）
（C）（2）（3）
（D）（1）（2）
💡 答案解析
答案：C
解析：步骤1：对于(1)，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}=0$，则$f(0)=0$，但$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}\cdot x^{-2/3}$，极限不存在，故不可导，错误。
步骤2：对于(2)，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$，则$f(0)=0$，且$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}\cdot x=0$，故$f'(0)=0$，正确。
步骤3：对于(3)，若$f(x)$在$x=0$处可导，则$f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)$，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}=\lim_{x\to0}\frac{f(0)+f'(0)x+o(x)}{\sqrt[3]{x}}$，当$f(0)=0$时极限为0，但$f(0)$不一定为0，故不一定成立，但题目中(3)需在可导条件下，由连续性得$f(0)=0$，故正确。因此(2)(3)正确。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析结论(1)的正确性
由极限条件得f(0)=0，但导数定义极限lim_{x→0} f(x)/x = lim_{x→0} [f(x)/∛x] * x^{-2/3}，由于x^{-2/3}趋于无穷，极限不存在，故不可导，结论(1)错误。
公式：f'(0) = lim_{x→0} f(x)/x
提示：注意极限存在性需考虑因子相乘后的结果。
步骤 2/3
目标：分析结论(2)的正确性
由极限条件得f(0)=0，且lim_{x→0} f(x)/x = lim_{x→0} [f(x)/x^2] * x = 0 * 0 = 0，故f'(0)=0，结论(2)正确。
公式：f'(0) = lim_{x→0} f(x)/x = lim_{x→0} [f(x)/x^2] * x
提示：利用已知极限乘以趋于0的因子。
步骤 3/3
目标：分析结论(3)的正确性
若f(x)在x=0处可导，则f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)。由连续性得f(0)=0，故f(x)=f'(0)x+o(x)，则lim_{x→0} f(x)/∛x = lim_{x→0} [f'(0)x+o(x)]/∛x = 0，结论(3)正确。
公式：f(x) = f(0) + f'(0)x + o(x)
提示：可导必连续，得f(0)=0。
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