kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
【强化篇】第17题（选择题）
17．设 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，在 $x=a$ 的某去心邻域内可导，下述论断正确的是（）。
（A）若 $\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f^{\prime}(a)=A$
（B）若 $f^{\prime}(a)=A$ ，则 $\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=A$
（C）若 $\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=\infty$ ，则 $f^{\prime}(a)$ 不存在
（D）若 $f^{\prime}(a)$ 不存在，则 $\lim _{x \rightarrow-a}(x)=\infty$
💡 答案解析
答案：C
解析：步骤1：对于选项（A），反例：$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x}, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$，在$x=0$处$\lim_{x\to0}f'(x)$不存在，但$f'(0)=0$，故（A）错误。
步骤2：对于选项（B），反例：$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x}, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$，$f'(0)=0$，但$\lim_{x\to0}f'(x)$不存在，故（B）错误。
步骤3：对于选项（C），若$\lim_{x\to a}f'(x)=\infty$，则$f'(a)$不存在，否则若$f'(a)$存在，由导数极限定理知$\lim_{x\to a}f'(x)=f'(a)$，矛盾，故（C）正确。
步骤4：对于选项（D），反例：$f(x)=|x|$在$x=0$处不可导，但$\lim_{x\to0}f'(x)$不存在且不为无穷，故（D）错误。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项（A）
考虑反例：f(x)=x^2 sin(1/x) (x≠0), f(0)=0。计算f'(0)=0，但lim_{x→0} f'(x)不存在，故（A）错误。
提示：注意导数极限定理的条件：f在a处可导且导函数极限存在，则导函数极限等于该点导数。但反之不成立。
步骤 2/4
目标：分析选项（B）
同样用反例f(x)=x^2 sin(1/x) (x≠0), f(0)=0。f'(0)=0，但lim_{x→0} f'(x)不存在，故（B）错误。
提示：导数存在不能推出导函数极限存在。
步骤 3/4
目标：分析选项（C）
若lim_{x→a} f'(x)=∞，假设f'(a)存在，则由导数极限定理，lim_{x→a} f'(x)=f'(a)，矛盾。故f'(a)不存在，（C）正确。
公式：导数极限定理：若f在a处可导，且lim_{x→a} f'(x)存在，则lim_{x→a} f'(x)=f'(a)。
提示：注意定理要求导函数极限存在，这里极限为无穷，不属于存在的情况。
步骤 4/4
目标：分析选项（D）
反例：f(x)=|x|在x=0处不可导，但lim_{x→0} f'(x)不存在且不为无穷（左导数为-1，右导数为1），故（D）错误。
提示：导数不存在不一定导函数极限为无穷，可能振荡或左右极限不相等。
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