kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
【基础篇】第10题（选择题）
10．设可导函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=f^{2}(x)$ ，且 $f(0)=-1$ ，则在 $x=0$ 处的三阶导数 $f^{\prime \prime \prime}(0)=$
（A）-6
（B）-4
（C） 4
（D） 6
💡 答案解析
答案：A
解析：
步骤1：由$f'(x) = f^2(x)$，逐次求导得$f''(x) = 2f^3(x)$，$f'''(x) = 6f^4(x)$。
步骤2：代入$x=0$，$f(0) = -1$，则$f'''(0) = 6 \cdot (-1)^4 = 6$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求一阶导数关系
由已知条件 f'(x) = f^2(x)，直接得到一阶导数表达式。
公式：f'(x) = f^2(x)
提示：注意这是微分方程，但本题只需逐次求导。
步骤 2/4
目标：求二阶导数
对 f'(x) = f^2(x) 两边求导，利用链式法则：f''(x) = 2f(x) f'(x) = 2f(x) * f^2(x) = 2f^3(x)。
公式：f''(x) = 2f^3(x)
提示：求导时不要忘记 f'(x) 的表达式。
步骤 3/4
目标：求三阶导数
对 f''(x) = 2f^3(x) 两边求导：f'''(x) = 6f^2(x) f'(x) = 6f^2(x) * f^2(x) = 6f^4(x)。
公式：f'''(x) = 6f^4(x)
提示：再次代入 f'(x) 的表达式。
步骤 4/4
目标：代入 x=0 计算
已知 f(0) = -1，代入 f'''(0) = 6 * (-1)^4 = 6。
公式：f'''(0) = 6
提示：注意 (-1)^4 = 1。
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