kaoyan1basic 高等数学 第90题
📝 题目
第90题
设 $f(u, v)$ 是二元可微函数，$z=f\left(x^{y}, y^{2 x}\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u} \cdot y x^{y-1} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot 2y^{2x} \ln y$
解析：
步骤1：$z = f(x^y, y^{2x})$，令$u = x^y$，$v = y^{2x}$。
步骤2：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$。
步骤3：$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = y x^{y-1}$，$\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} = y^{2x} \cdot 2 \ln y$。
步骤4：故$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = f_u \cdot y x^{y-1} + f_v \cdot 2y^{2x} \ln y$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入中间变量
令 u = x^y, v = y^{2x}，则 z = f(u, v)。
提示：注意 u 和 v 都是关于 x 的函数。
步骤 2/5
目标：应用链式法则
∂z/∂x = (∂f/∂u) * (∂u/∂x) + (∂f/∂v) * (∂v/∂x)。
公式：∂z/∂x = f_u * u_x + f_v * v_x
提示：f_u 表示 ∂f/∂u，f_v 表示 ∂f/∂v。
步骤 3/5
目标：计算 ∂u/∂x
u = x^y，将 y 视为常数，对 x 求导得 ∂u/∂x = y * x^{y-1}。
公式：∂(x^y)/∂x = y x^{y-1}
提示：幂函数求导公式。
步骤 4/5
目标：计算 ∂v/∂x
v = y^{2x}，将 y 视为常数，对 x 求导得 ∂v/∂x = y^{2x} * ln(y) * 2 = 2 y^{2x} ln y。
公式：∂(a^{g(x)})/∂x = a^{g(x)} ln a * g'(x)
提示：指数函数求导公式，注意 a = y 是常数。
步骤 5/5
目标：代入结果
将 ∂u/∂x 和 ∂v/∂x 代入链式法则表达式。
公式：∂z/∂x = f_u * y x^{y-1} + f_v * 2 y^{2x} ln y
提示：最终结果中 f_u 和 f_v 通常写作 ∂f/∂u 和 ∂f/∂v。
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