kaoyan1basic 高等数学 第12题

答案：A
解析：步骤1：由条件，$f(x)$在$[0,2]$上单调连续，且$f(0)=1,f(2)=2$，故$f$严格单调增（因为$f(0)步骤2：$P=\int_{1}^{2} g(x) dx$，由反函数积分公式，$\int_{1}^{2} g(x) dx = \int_{0}^{2} x f'(x) dx$？更直接地，利用几何意义：$P$等于曲线$y=f(x)$与$y$轴围成的面积减去矩形面积。
步骤3：由$f$是凸函数（因为$\displaystyle f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，即$f$是严格凹函数？注意：$\displaystyle f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$表示$f$是凹函数（上凸）。故$f$是凹函数。
步骤4：凹函数在$[0,2]$上，$f(0)=1,f(2)=2$，连接端点直线$\displaystyle y=1+\frac{x}{2}$，凹函数图像在直线下方，故$\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) dx < \int_{0}^{2} (1+\frac{x}{2}) dx = 3$。
步骤5：$P=\int_{1}^{2} g(x) dx = 2\cdot 2 - \int_{0}^{2} f(x) dx = 4 - \int_{0}^{2} f(x) dx > 4-3=1$，且$P<4- \int_{0}^{2} 1 dx = 4-2=2$？需更精确：由于$f$凹，$\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) dx > \frac{1}{2}(f(0)+f(2))\cdot 2 = 3$？凹函数积分大于梯形面积？实际上凹函数图像在弦下方，积分小于梯形面积，故$\int_{0}^{2} f(x) dx < 3$，所以$P>1$。又$f(x)\ge 1$，故$\int_{0}^{2} f(x) dx \ge 2$，$P\le 2$。但$P$可能大于2？由$f$凹，$\displaystyle f(x)\le 1+\frac{x}{2}$，$\int_{0}^{2} f(x) dx \le 3$，$P\ge 1$；下界：$f(x)\ge 1$，$\int_{0}^{2} f(x) dx \ge 2$，$P\le 2$。故$1步骤6：重新计算：$P=\int_{1}^{2} g(x) dx$，几何意义是$y=f(x)$与$x$轴围成的面积在$y$方向上的投影。由$f$单调增，$P=2\cdot 2 - \int_{0}^{2} f(x) dx = 4 - \int_{0}^{2} f(x) dx$。由于$f$凹，$\int_{0}^{2} f(x) dx$介于梯形面积和矩形面积之间？梯形面积$\displaystyle \frac{1+2}{2}\cdot 2=3$，矩形面积$1\cdot 2=2$，凹函数积分大于梯形？实际上凹函数图像在弦下方，积分小于梯形面积，故$\int_{0}^{2} f(x) dx < 3$，所以$P>1$。又$f(x)\ge 1$，$\int_{0}^{2} f(x) dx \ge 2$，$P\le 2$。故$1难度：★★★★☆