kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
【强化篇】第16题（选择题）
16．下列反常积分中收敛的是 ．
（A） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$
（B） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$
（C） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$
（D） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$
💡 答案解析
答案：C
解析：步骤1：对于(A)，当$x \to 1^+$时，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \sim \frac{1}{\sqrt{2(x-1)}}$，$\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x-1}}$收敛；当$x \to +\infty$时，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \sim \frac{1}{x}$，$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x}$发散，故整体发散。
步骤2：对于(B)，当$x \to 1^+$时，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} \sim \frac{1}{\sqrt{x-1}}$，$\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x-1}}$收敛；当$x \to +\infty$时，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} \sim \frac{1}{x}$，发散，故整体发散。
步骤3：对于(C)，当$x \to 1^+$时，$\displaystyle \frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}} \sim \frac{1}{\sqrt{2(x-1)}}$，收敛；当$x \to +\infty$时，$\displaystyle \frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}} \sim \frac{1}{x^3}$，$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^3}$收敛，故整体收敛。
步骤4：对于(D)，当$x \to 1^+$时，$\displaystyle \frac{1}{x(x^2-1)} \sim \frac{1}{2(x-1)}$，$\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{dx}{x-1}$发散，故整体发散。
难度：★★☆☆☆