kaoyan1basic 高等数学 第8题

答案：$\displaystyle \frac{11}{6}$
解析：步骤1：将$f(t)=\int_0^1 t|t-x|dx$分段处理。当$t\le0$时，$|t-x|=x-t$；当$0步骤2：计算$f(t)$表达式：
$t\le0$：$\displaystyle f(t)=t\int_0^1 (x-t)dx = t(\frac12 - t) = \frac{t}{2}-t^2$。
$0$t\ge1$：$\displaystyle f(t)=t\int_0^1 (t-x)dx = t(t-\frac12) = t^2-\frac{t}{2}$。
步骤3：计算$\displaystyle \int_{-1}^2 f(t)dt = \int_{-1}^0 (\frac{t}{2}-t^2)dt + \int_0^1 \frac{t}{2}(2t^2-2t+1)dt + \int_1^2 (t^2-\frac{t}{2})dt$。
步骤4：分别积分：$\displaystyle \int_{-1}^0 (\frac{t}{2}-t^2)dt = [\frac{t^2}{4}-\frac{t^3}{3}]_{-1}^0 = 0 - (\frac14+\frac13) = -\frac{7}{12}$；
$\displaystyle \int_0^1 \frac{t}{2}(2t^2-2t+1)dt = \int_0^1 (t^3-t^2+\frac{t}{2})dt = [\frac{t^4}{4}-\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{4}]_0^1 = \frac14-\frac13+\frac14 = \frac16$；
$\displaystyle \int_1^2 (t^2-\frac{t}{2})dt = [\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{4}]_1^2 = (\frac83-1) - (\frac13-\frac14) = \frac53 - \frac{1}{12} = \frac{19}{12}$。
步骤5：求和：$\displaystyle -\frac{7}{12}+\frac16+\frac{19}{12} = \frac{12}{12}+\frac{2}{12} = \frac{14}{12} = \frac{11}{6}$。
难度：★★★☆☆