kaoyan2advanced 高等数学 第110题

教材习题

📝 题目

第110题

曲线 $\displaystyle y=\frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}}$ 的渐近线的条数为
（A） 0 ．
（B） 1 ．
（C） 2 ．
（D） 3 ．

💡 答案解析

答案：D
解析：
步骤1：求铅直渐近线。分母$1-\mathrm{e}^{-x}=0$得$x=0$，$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} y = \frac{1}{0^-} = -\infty$，$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} y = \frac{1}{0^+} = +\infty$，有一条铅直渐近线$x=0$。
步骤2：求水平渐近线。$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} y = \frac{1+x}{1-0} = +\infty$，无水平渐近线；$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} y = \frac{1+x}{1-\infty} = 0$，有一条水平渐近线$y=0$。
步骤3：求斜渐近线。$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x}{x(1-\mathrm{e}^{-x})} = 1$，$\displaystyle b = \lim_{x \to +\infty} (y - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}} - x = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x - x(1-\mathrm{e}^{-x})}{1-\mathrm{e}^{-x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x\mathrm{e}^{-x}}{1-\mathrm{e}^{-x}} = 1$，有一条斜渐近线$y=x+1$。
步骤4：共3条渐近线。
难度：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：求铅直渐近线
令分母 $1-\mathrm{e}^{-x}=0$，解得 $x=0$。计算极限： $$\lim_{x \to 0^-} y = \lim_{x \to 0^-} \frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}} = \frac{1}{0^-} = -\infty,$$ $$\lim_{x \to 0^+} y = \lim_{x \to 0^+} \frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}} = \frac{1}{0^+} = +\infty.$$ 因此有一条铅直渐近线 $x=0$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}}$$
提示：注意左右极限符号不同
步骤 2/4
目标：求水平渐近线
当 $x \to +\infty$ 时，$\mathrm{e}^{-x} \to 0$， $$\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x}{1-0} = +\infty,$$ 无水平渐近线。 当 $x \to -\infty$ 时，$\mathrm{e}^{-x} \to +\infty$， $$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{1+x}{1-\infty} = 0,$$ 有一条水平渐近线 $y=0$。
公式：$$\lim_{x \to \infty} y = \text{常数}$$
提示：注意x趋向正负无穷时e^{-x}的极限不同
步骤 3/4
目标：求斜渐近线
考虑 $x \to +\infty$ 时的斜渐近线。计算斜率 $k$： $$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x}{x(1-\mathrm{e}^{-x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x+1}{1-\mathrm{e}^{-x}} = \frac{0+1}{1-0} = 1.$$ 计算截距 $b$： $$b = \lim_{x \to +\infty} (y - kx) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}} - x \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x - x(1-\mathrm{e}^{-x})}{1-\mathrm{e}^{-x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + x\mathrm{e}^{-x}}{1-\mathrm{e}^{-x}}.$$ 由于 $\lim_{x \to +\infty} x\mathrm{e}^{-x} = 0$，$\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{-x} = 0$，得 $b = \frac{1+0}{1-0} = 1$。 因此有一条斜渐近线 $y = x + 1$。
公式：$$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x}, \quad b = \lim_{x \to +\infty} (y - kx)$$
提示：注意x趋于正无穷时e^{-x}趋于0
步骤 4/4
目标：总结渐近线条数
共有三条渐近线：铅直渐近线 $x=0$，水平渐近线 $y=0$，斜渐近线 $y=x+1$。
提示：注意x=0处无定义且极限无穷

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