kaoyan2advanced 高等数学 第113题
📝 题目
第113题
设 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，且 $a \neq 0$ ，则 $\displaystyle \int \frac{f(a x)}{a} \mathrm{~d} x=$
（A）$\displaystyle \frac{\sin a x}{a^{3} x}+C$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\sin a x}{a^{2} x}+C$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\sin a x}{a x}+C$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\sin a x}{x}+C$ ．
💡 答案解析
答案：B
解析：
步骤1：由题意，$\displaystyle F(x) = \frac{\sin x}{x}$是$f(x)$的一个原函数，故$\displaystyle f(x) = F'(x) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$。
步骤2：$\displaystyle \int \frac{f(ax)}{a} \mathrm{d}x = \frac{1}{a} \int f(ax) \mathrm{d}x$，令$t=ax$，则$\displaystyle \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{a}$，原式$\displaystyle = \frac{1}{a^2} \int f(t) \mathrm{d}t = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{\sin t}{t} + C = \frac{\sin(ax)}{a^2 x} + C$。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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