kaoyan2advanced 高等数学 第116题

教材习题

📝 题目

第116题

设函数 $f(x)$ 连续且以 $T$ 为周期，则下列函数中以 $T$ 为周期的函数为
（A） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．
（B） $\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．
（C） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．
（D） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．

💡 答案解析

答案：D
解析：
步骤1：设$F(x)=\int_0^x f(t)\mathrm{d}t + \int_{-x}^0 f(t)\mathrm{d}t$，则$F(x+T)=\int_0^{x+T} f(t)\mathrm{d}t + \int_{-x-T}^0 f(t)\mathrm{d}t$。
步骤2：利用周期性，$\int_0^{x+T} f(t)\mathrm{d}t = \int_0^T f(t)\mathrm{d}t + \int_T^{x+T} f(t)\mathrm{d}t = \int_0^T f(t)\mathrm{d}t + \int_0^x f(t)\mathrm{d}t$。
步骤3：$\int_{-x-T}^0 f(t)\mathrm{d}t = \int_{-T}^0 f(t)\mathrm{d}t + \int_{-x-T}^{-T} f(t)\mathrm{d}t = \int_0^T f(t)\mathrm{d}t + \int_{-x}^0 f(t)\mathrm{d}t$（令$u=t+T$）。
步骤4：相加得$F(x+T)=F(x)+2\int_0^T f(t)\mathrm{d}t$，仅当$\int_0^T f(t)\mathrm{d}t=0$时周期为$T$，但题目未给此条件。检查选项D：$F(x)=\int_0^x f(t)\mathrm{d}t + \int_{-x}^0 f(t)\mathrm{d}t$，由上述推导，$F(x+T)-F(x)=2\int_0^T f(t)\mathrm{d}t$，不恒为0，故D不是周期函数。
步骤5：选项C：$\int_0^x f(t)\mathrm{d}t - \int_{-x}^0 f(t)\mathrm{d}t$，类似可得$F(x+T)-F(x)=0$，故C以$T$为周期。
难度：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：步骤1：分析选项A
设 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$，则 $F(x+T)=\int_{0}^{x+T} f(t) \mathrm{d} t = \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t + \int_{T}^{x+T} f(t) \mathrm{d} t$。令 $u=t-T$，则 $\int_{T}^{x+T} f(t) \mathrm{d} t = \int_{0}^{x} f(u+T) \mathrm{d} u = \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u = F(x)$，所以 $F(x+T)=F(x)+\int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$。由于 $\int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$ 不一定为0，故A不一定以 $T$ 为周期。
公式：$$F(x+T)=F(x)+\int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$$
提示：注意周期函数积分后常数项可能破坏周期性
步骤 2/5
目标：步骤2：分析选项B
设 $G(x)=\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$，则 $G(x+T)=\int_{-x-T}^{0} f(t) \mathrm{d} t$。令 $u=t+T$，则 $\int_{-x-T}^{0} f(t) \mathrm{d} t = \int_{-x}^{T} f(u-T) \mathrm{d} u = \int_{-x}^{0} f(u) \mathrm{d} u + \int_{0}^{T} f(u) \mathrm{d} u = G(x)+\int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$，故B不一定以 $T$ 为周期。
公式：$$G(x+T)=\int_{-x-T}^{0} f(t) \mathrm{d} t = \int_{-x}^{0} f(u) \mathrm{d} u + \int_{0}^{T} f(u) \mathrm{d} u = G(x)+\int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$$
提示：注意换元后积分限变化及常数项影响
步骤 3/5
目标：步骤3：分析选项C
设 $H(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t - \int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$，则 $H(x+T)=\int_{0}^{x+T} f(t) \mathrm{d} t - \int_{-x-T}^{0} f(t) \mathrm{d} t$。由步骤1和步骤2，$\int_{0}^{x+T} f(t) \mathrm{d} t = \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t + \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$，$\int_{-x-T}^{0} f(t) \mathrm{d} t = \int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t + \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$，相减得 $H(x+T)=H(x)$，故C以 $T$ 为周期。
提示：注意积分区间变换时周期性的应用
步骤 4/5
目标：步骤4：分析选项D
设 $K(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t + \int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$，则 $K(x+T)=\int_{0}^{x+T} f(t) \mathrm{d} t + \int_{-x-T}^{0} f(t) \mathrm{d} t = \left(\int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t + \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right) + \left(\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t + \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t\right) = K(x) + 2\int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$，故D不一定以 $T$ 为周期。
公式：$$K(x+T)=K(x)+2\int_{0}^{T}f(t)dt$$
提示：注意周期函数积分后可能产生常数项
步骤 5/5
目标：步骤5：得出结论
综合以上分析，只有选项C满足周期为 $T$ 的条件，因此正确答案为C。
提示：注意变上限积分周期性的判断条件

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