kaoyan2advanced 高等数学 第122题
📝 题目
第122题
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，下述 4 个命题
（1）对任意正常数 $a, \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0 \Leftrightarrow f(x)$ 为奇函数．
（2）对任意正常数 $a, \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \Leftrightarrow f(x)$ 为偶函数．
（3）对任意正常数 $a$ 及常数 $\omega>0, \int_{a}^{a+\omega} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $a$ 无关 $\Leftrightarrow f(x)$ 有周期 $\omega$ ．
（4） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 对 $x$ 有周期 $\omega \Leftrightarrow \int_{0}^{\omega} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．
正确的命题个数为
（A） 4 ．
（B） 3 ．
（C） 2 ．
（D） 1 ．
💡 答案解析
答案：C
解析：
步骤1：命题(1)正确，奇函数积分性质。
步骤2：命题(2)正确，偶函数积分性质。
步骤3：命题(3)不正确，例如$f(x)=1$，$\int_a^{a+\omega}1\mathrm{d}x=\omega$与$a$无关，但$f$周期为任意数，不一定是$\omega$。
步骤4：命题(4)正确，$\int_0^x f(t)\mathrm{d}t$周期为$\omega$当且仅当$\int_0^\omega f(t)\mathrm{d}t=0$。
步骤5：正确命题个数为3。
难度：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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