kaoyan2advanced 高等数学 第132题

教材习题

📝 题目

第132题

下列结论中正确的是
（A） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 都收敛。
（B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 都发散．
（C） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 收敛， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 发散．
（D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 发散， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$ 收敛。

💡 答案解析

答案：A
解析：$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$，$x\to0^+$时被积函数~$1/\sqrt{x}$，收敛；$\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$，$x\to+\infty$时被积函数~$1/x^{3/2}$，收敛。故两者都收敛。
难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：分析第一个积分在0附近的收敛性
考虑积分 $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$，当 $x \to 0^+$ 时，$1+x \sim 1$，因此被积函数 $\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$。由于 $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}$ 收敛（$p=\frac{1}{2}<1$），所以该积分在0处收敛。
公式：$$\int_0^1 \frac{dx}{x^p} \text{ 收敛当且仅当 } p<1$$
提示：注意比较判别法中的等价无穷小替换
步骤 2/4
目标：分析第二个积分在无穷远处的收敛性
考虑积分 $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$，当 $x \to +\infty$ 时，$1+x \sim x$，因此被积函数 $\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \sim \frac{1}{x^{3/2}}$。由于 $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^{3/2}}$ 收敛（$p=\frac{3}{2}>1$），所以该积分在无穷远处收敛。
公式：$$\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \sim \frac{1}{x^{3/2}}$$
提示：注意比较判别法的p值条件
步骤 3/4
目标：综合判断两个积分的敛散性
第一个积分在0处收敛，第二个积分在无穷远处收敛，且两个积分均无其他瑕点，因此两者都收敛。
提示：注意瑕点和无穷限的判别
步骤 4/4
目标：得出结论
根据以上分析，选项（A）正确：$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$ 与 $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$ 都收敛。
提示：注意比较判别法的使用条件

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