kaoyan2advanced 高等数学 第147题
📝 题目
第147题
设积分$D: x^{2}+2 y^{2} \leqslant 1$ ，其中 $x \geqslant 0 . D_{1}$ 是积分$D$ 在 $y \geqslant 0$ 的部分，则
（A） $\iint_{D} \sin ^{3} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} \sin ^{3} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（B） $\iint_{D} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（C） $\iint_{D} \sin ^{3} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} \sin ^{3} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（D） $\iint_{D} x y^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} x y^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
答案：D
解析：区域$D$关于$x$轴对称，$D_1$为$y\geq 0$部分。被积函数$\sin^3 y$是$y$的奇函数，但区域不对称于$y$，故A错；$x$是偶函数关于$y$，但$D$关于$x$轴不对称，B错；C中变量不同；$xy^3$关于$y$是奇函数，$D$关于$x$轴对称，故$\iint_D xy^3 dxdy = 2\iint_{D_1} xy^3 dxdy$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
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