kaoyan2advanced 高等数学 第16题
📝 题目
第16题
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \cos t \mathrm{~d} t}{x}=$
$\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$0$
解析：
步骤1：利用洛必达法则，原式$\displaystyle =\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x}\cos x}{1}$，该极限不存在，但需注意原式分子积分有界性。
步骤2：由分部积分，$\displaystyle \int_0^x\sqrt{t}\cos t dt = \sqrt{x}\sin x - \frac{1}{2}\int_0^x\frac{\sin t}{\sqrt{t}}dt$，其中$\displaystyle \int_0^x\frac{\sin t}{\sqrt{t}}dt$收敛，故分子有界，分母$x\to\infty$，极限为0。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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