kaoyan2advanced 高等数学 第171题

答案：（1）证明见解析；（2）$\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$
解析：
（1）令$\displaystyle f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$，$g(x)=x-\ln(1+x)$，$x>0$。
$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}>0$，$f(x)>f(0)=0$，即$\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)$。
$\displaystyle g'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0$，$g(x)>g(0)=0$，即$\ln(1+x)（2）$\displaystyle x_n=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{n^2-n+2k-1}{n^3}\right)$，取对数得$\displaystyle \ln x_n=\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{n^2-n+2k-1}{n^3}\right)$。
由（1）不等式：$\displaystyle \frac{u}{1+u}<\ln(1+u)求和得$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{u}{1+u}<\ln x_n<\sum_{k=1}^{n}u$。
计算$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}u=\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}(n^2-n+2k-1)=\frac{1}{n^3}\left[n(n^2-n)+\frac{2\cdot n(n+1)}{2}-n\right]=\frac{1}{n^3}(n^3-n^2+n^2+n-n)=1$。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{u}{1+u}=\sum_{k=1}^{n}\frac{n^2-n+2k-1}{n^3+n^2-n+2k-1}$，由夹逼准则得$\lim_{n\to\infty}\ln x_n=1$，故$\lim_{n\to\infty}x_n=\mathrm{e}$。
难度：★★★☆☆