kaoyan2advanced 高等数学 第174题

答案：$\displaystyle \frac{1}{2}$
解析：
由$\displaystyle x_{n+1}=\sqrt{\frac{\pi}{2}x_n\sin x_n}$，令$x_n\to a$，则$\displaystyle a=\sqrt{\frac{\pi}{2}a\sin a}$，解得$a=0$或$\displaystyle a=\frac{\pi}{2}$。由$\displaystyle 0令$\displaystyle y_n=\frac{\pi}{2}-x_n\to0$，则$\displaystyle x_n=\frac{\pi}{2}-y_n$，代入递推得$\displaystyle \frac{\pi}{2}-y_{n+1}=\sqrt{\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi}{2}-y_n\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-y_n\right)}=\sqrt{\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi}{2}-y_n\right)\cos y_n}$。
平方并展开：$\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}-y_{n+1}\right)^2=\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi}{2}-y_n\right)\left(1-\frac{y_n^2}{2}+o(y_n^2)\right)$，得$\displaystyle y_{n+1}^2=\frac{y_n^2}{2}+o(y_n^2)$，故$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
所求极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sec x_n-\tan x_n}{\frac{\pi}{2}-x_n}=\lim_{y\to0}\frac{\frac{1}{\cos y}-\frac{\sin y}{\cos y}}{y}=\lim_{y\to0}\frac{1-\sin y}{y\cos y}=\lim_{y\to0}\frac{1-y+o(y)}{y(1+o(1))}=\infty$，需重新计算：$\displaystyle \sec x-\tan x=\frac{1-\sin x}{\cos x}$，令$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-y$，则$\displaystyle \frac{1-\cos y}{\sin y}=\frac{2\sin^2\frac{y}{2}}{2\sin\frac{y}{2}\cos\frac{y}{2}}=\tan\frac{y}{2}\sim\frac{y}{2}$，故极限为$\displaystyle \frac{1}{2}$。
难度：★★★★☆