kaoyan2advanced 高等数学 第184题
📝 题目
第184题
证明：在区间 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上存在三个不同的点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，使得
$\displaystyle \left[\mathrm{e}^{-x_{1}}\left(\cos x_{1}-\sin x_{1}\right)\right] x_{3}=\left[\mathrm{e}^{-x_{2}}\left(\cos x_{2}-\sin x_{2}\right)\right]\left(\frac{\pi}{2}-x_{3}\right) .$
💡 答案解析
答案：证明见解析
解析：
令$F(x)=\mathrm{e}^{-x}(\cos x-\sin x)$，则$F'(x)=-\mathrm{e}^{-x}(\cos x-\sin x)+\mathrm{e}^{-x}(-\sin x-\cos x)=-2\mathrm{e}^{-x}\cos x$。
在$\displaystyle [0,\frac{\pi}{2}]$上，$F(0)=1$，$\displaystyle F(\frac{\pi}{2})=-\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}}$，由介值定理，存在$\displaystyle \xi\in(0,\frac{\pi}{2})$使$F(\xi)=0$。
取$x_1=0$，$\displaystyle x_2=\frac{\pi}{2}$，$x_3=\xi$，则左边$=[\mathrm{e}^{-0}(1-0)]\xi=\xi$，右边$\displaystyle =[\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}}(0-1)](\frac{\pi}{2}-\xi)=-\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}}(\frac{\pi}{2}-\xi)$，不相等。需重新构造：考虑函数$\displaystyle G(x)=F(x)(\frac{\pi}{2}-x)-F(\frac{\pi}{2}-x)x$，在端点处$\displaystyle G(0)=F(0)\cdot\frac{\pi}{2}-F(\frac{\pi}{2})\cdot0=\frac{\pi}{2}>0$，$\displaystyle G(\frac{\pi}{2})=F(\frac{\pi}{2})\cdot0-F(0)\cdot\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}<0$，由零点定理存在$\displaystyle x_3\in(0,\frac{\pi}{2})$使$G(x_3)=0$，即$\displaystyle F(x_3)(\frac{\pi}{2}-x_3)=F(\frac{\pi}{2}-x_3)x_3$，取$x_1=x_3$，$\displaystyle x_2=\frac{\pi}{2}-x_3$，则等式成立。
难度：★★★★☆