kaoyan2advanced 高等数学 第216题

好的，我们先仔细看一下这个积分，它看起来是一个二重积分，但积分次序可能会有点问题，我们先按题目给的顺序来写：

题目是：
$$
I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{1}^{y}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{x} \sin x\right) \mathrm{d} x
$$

注意这里内层积分的下限是1，上限是y，而y是从0到1的。也就是说，当y小于1时，积分上限小于下限，这会导致积分方向是反的。我们可以先处理这个次序问题。

第一步：交换积分次序或调整符号

对于固定的y∈[0,1]，x是从1到y，因为1 > y，所以：
$$
\int_{1}^{y} f(x) dx = -\int_{y}^{1} f(x) dx
$$
因此原积分可以写成：
$$
I = \int_{0}^{1} dy \left[ -\int_{y}^{1} \left( e^{-x^2} + e^x \sin x \right) dx \right]
= -\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{1} \left( e^{-x^2} + e^x \sin x \right) dx
$$

第二步：交换积分次序

现在积分区域是：y从0到1，对每个y，x从y到1。
这个区域可以描述为：x从0到1，对每个x，y从0到x。
于是：
$$
I = -\int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{x} \left( e^{-x^2} + e^x \sin x \right) dy \, dx
$$

内层对y积分很简单，因为被积函数与y无关：
$$
\int_{y=0}^{x} dy = x
$$
所以：
$$
I = -\int_{0}^{1} x \left( e^{-x^2} + e^x \sin x \right) dx
$$

第三步：拆成两个积分

$$
I = -\int_{0}^{1} x e^{-x^2} dx - \int_{0}^{1} x e^x \sin x \, dx
$$

先算第一个：
令 $ u = x^2 $，则 $ du = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{du}{2} $，
当x=0时u=0，x=1时u=1，
$$
\int_0^1 x e^{-x^2} dx = \frac12 \int_0^1 e^{-u} du = \frac12 (1 - e^{-1})
$$

所以第一部分是：
$$
-\frac12 (1 - e^{-1}) = -\frac12 + \frac{1}{2e}
$$

第四步：计算第二个积分

$$
J = \int_0^1 x e^x \sin x \, dx
$$
这个可以用分部积分或者用欧拉公式。我们采用分部积分法。

设：
$$
u = x e^x, \quad dv = \sin x \, dx
$$
则：
$$
du = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx, \quad v = -\cos x
$$
于是：
$$
J = \left[ -x e^x \cos x \right]_0^1 + \int_0^1 e^x (1+x) \cos x \, dx
$$
代入上下限：
在x=1时：$ -1\cdot e^1 \cos 1 = -e \cos 1 $
在x=0时：0
所以：
$$
J = -e \cos 1 + \int_0^1 e^x (1+x) \cos x \, dx
$$

现在计算剩下的积分：
$$
K = \int_0^1 e^x (1+x) \cos x \, dx
$$
再用分部积分，这次令：
$$
u = e^x(1+x), \quad dv = \cos x \, dx
$$
则：
$$
du = \left[ e^x(1+x) + e^x \right] dx = e^x (x+2) dx, \quad v = \sin x
$$
所以：
$$
K = \left[ e^x (1+x) \sin x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x (x+2) \sin x \, dx
$$
在x=1时：$ e^1 (2) \sin 1 = 2e \sin 1 $
在x=0时：0
于是：
$$
K = 2e \sin 1 - \int_0^1 e^x (x+2) \sin x \, dx
$$

现在把这个K代回J的表达式：
$$
J = -e \cos 1 + 2e \sin 1 - \int_0^1 e^x (x+2) \sin x \, dx
$$

我们注意到这个新积分和J有点像，可以再分部一次，或者直接把它和J建立方程。
令：
$$
L = \int_0^1 e^x (x+2) \sin x \, dx
$$
对L再用分部积分，令：
$$
u = e^x(x+2), \quad dv = \sin x \, dx
$$
则：
$$
du = [e^x(x+2) + e^x] dx = e^x(x+3) dx, \quad v = -\cos x
$$
所以：
$$
L = \left[ -e^x (x+2) \cos x \right]_0^1 + \int_0^1 e^x (x+3) \cos x \, dx
$$
代入上下限：
x=1: $-e(3)\cos 1 = -3e\cos 1$
x=0: $-1\cdot 2 \cdot 1 = -2$
所以：
$$
L = (-3e\cos 1 + 2) + \int_0^1 e^x (x+3) \cos x \, dx
$$

这样下去会越来越长，其实我们可以用更聪明的方法：
注意到 $ e^x \sin x $ 是 $ \operatorname{Im}(e^{(1+i)x}) $，所以：
$$
\int x e^x \sin x \, dx = \operatorname{Im} \int x e^{(1+i)x} dx
$$
这样可以用公式快速算出定积分。

第五步：用复数方法快速计算

考虑：
$$
\int_0^1 x e^{(1+i)x} dx
$$
用分部积分：
令 $ u = x $, $ dv = e^{(1+i)x} dx $，则 $ du = dx $, $ v = \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} $
所以：
$$
\int_0^1 x e^{(1+i)x} dx = \left[ \frac{x e^{(1+i)x}}{1+i} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} dx
$$
第一部分代入上下限：
x=1: $\frac{1\cdot e^{1+i}}{1+i}$
x=0: 0
第二部分：
$$
\int_0^1 e^{(1+i)x} dx = \frac{e^{1+i} - 1}{1+i}
$$
所以整体：
$$
\int_0^1 x e^{(1+i)x} dx = \frac{e^{1+i}}{1+i} - \frac{e^{1+i} - 1}{(1+i)^2}
$$
注意 $(1+i)^2 = 2i$，而 $1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$。

先通分：
$$
= \frac{e^{1+i}(1+i) - (e^{1+i} - 1)}{(1+i)^2}
= \frac{e^{1+i} i + 1}{(1+i)^2}
$$
因为 $(1+i) - 1 = i$。

所以：
$$
= \frac{1 + i e^{1+i}}{2i}
$$
乘以共轭化简：
$$
= \frac{1}{2i} + \frac{e^{1+i}}{2}
$$
而 $\frac{1}{2i} = -\frac{i}{2}$，所以：
$$
= -\frac{i}{2} + \frac{e^{1+i}}{2}
$$

现在取虚部：
$ e^{1+i} = e(\cos 1 + i\sin 1) $，所以它的虚部是 $ e\sin 1$，除以2得 $\frac{e\sin 1}{2}$。
而 $-\frac{i}{2}$ 的虚部是 $-\frac12$。

因此：
$$
J = \int_0^1 x e^x \sin x \, dx = \frac{e\sin 1}{2} - \frac12
$$

第六步：合并结果

我们有：
$$
I = -\frac12 + \frac{1}{2e} - J
$$
而 $ J = \frac{e\sin 1}{2} - \frac12$，所以：
$$
I = -\frac12 + \frac{1}{2e} - \frac{e\sin 1}{2} + \frac12
$$
$-\frac12$和$+\frac12$抵消，得到：
$$
I = \frac{1}{2e} - \frac{e\sin 1}{2}
$$

因此最终答案是：
$$
\boxed{\frac{1}{2e} - \frac{e\sin 1}{2}}
$$

这样就完成了，过程虽然有点长，但每一步都是标准的积分技巧。