📋 详细解题步骤
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1x_2+4x_1x_3$ 对应的矩阵 $A$ 满足 $f=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$，其中 $A$ 为对称矩阵。根据二次型系数，$x_1x_2$ 系数为2，故 $a_{12}=a_{21}=1$；$x_1x_3$ 系数为4，故 $a_{13}=a_{31}=2$；其余项系数为0。因此 $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
公式：$$f=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$$
提示：注意交叉项系数需除以2
目标：计算特征多项式
特征多项式 $|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & -2 \\ -1 & \lambda & 0 \\ -2 & 0 & \lambda \end{vmatrix}$。按第一行展开：$\lambda \cdot \begin{vmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -2 & \lambda \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} -1 & \lambda \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = \lambda \cdot \lambda^2 + 1 \cdot (-\lambda) -2 \cdot (2\lambda) = \lambda^3 - \lambda - 4\lambda = \lambda^3 - 5\lambda = \lambda(\lambda^2-5)$。
公式：$$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & -2 \\ -1 & \lambda & 0 \\ -2 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^3 - 5\lambda$$
提示：注意行列式展开时符号和系数
目标：求解特征值
令特征多项式等于零：$\lambda(\lambda^2-5)=0$，解得特征值为 $\lambda_1=0,\ \lambda_2=\sqrt{5},\ \lambda_3=-\sqrt{5}$。
公式：$$\lambda(\lambda^2-5)=0$$
提示：注意特征值顺序不影响标准形
目标：写出正交变换下的标准形
在正交变换下，二次型化为标准形 $\lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 = 0 \cdot y_1^2 + \sqrt{5} y_2^2 - \sqrt{5} y_3^2 = \sqrt{5} y_2^2 - \sqrt{5} y_3^2$。通常将非零特征值对应的平方项按顺序写出，即 $\sqrt{5} y_1^2 - \sqrt{5} y_2^2$。
公式：$$\lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 = \sqrt{5} y_1^2 - \sqrt{5} y_2^2$$
提示：注意特征值顺序与标准形对应
目标：答案
标准形为 $\sqrt{5} y_1^2 - \sqrt{5} y_2^2$。但题目答案给出 $2y_1^2 - 2y_2^2$，可能为近似或笔误，实际应为 $\sqrt{5} y_1^2 - \sqrt{5} y_2^2$。
公式：$$\lambda = \pm \sqrt{5}$$
提示：注意正交变换下特征值对应标准形系数