kaoyan2advanced 线性代数 第272题

教材习题

📝 题目

第272题

设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵且 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，若 $\boldsymbol{Q}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2},-\boldsymbol{\alpha}_{2}\right.$ ， $\left.2 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，则 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=$
（A）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -6\end{array}\right]$ ．
（B）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & -2 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right]$ ．
（C）$\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$ ．
（D）$\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$ ．

💡 答案解析

答案：D
解析：
步骤1：由$P^T A P = \Lambda = \text{diag}(1,2,3)$，且$P=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]$。
步骤2：$Q = [\alpha_1+\alpha_2, -\alpha_2, 2\alpha_3] = P \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$，记$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$。
步骤3：$Q^T A Q = C^T (P^T A P) C = C^T \Lambda C = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}$。
难度：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：步骤1：理解已知条件
已知 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$，其中 $\boldsymbol{P} = [\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3]$ 为可逆矩阵。
公式：$$\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$
提示：注意P的列向量与特征值对应
步骤 2/5
目标：步骤2：表示矩阵Q与P的关系
由 $\boldsymbol{Q} = [\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2, -\boldsymbol{\alpha}_2, 2\boldsymbol{\alpha}_3]$，可得 $\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{P} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$，记 $\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$。
公式：$$\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{P} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$
提示：注意列向量组合顺序对应矩阵乘法
步骤 3/5
目标：步骤3：计算QᵀAQ
利用矩阵乘法性质：$\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{P} \boldsymbol{C})^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} (\boldsymbol{P} \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} (\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}) \boldsymbol{C} = \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \boldsymbol{C}$。
公式：$$\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} (\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}) \boldsymbol{C}$$
提示：注意矩阵转置顺序：Q=PC，则Qᵀ=CᵀPᵀ
步骤 4/5
目标：步骤4：代入C并计算乘积
$\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$，则 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$。再右乘 $\boldsymbol{C}$：$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}$。
公式：$$\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{C}$$
提示：注意矩阵乘法的顺序和维度匹配
步骤 5/5
目标：步骤5：得出最终结果
因此 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}$，对应选项（D）。
公式：$$\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}$$
提示：注意矩阵乘法顺序及转置运算

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