kaoyan2advanced 线性代数 第291题

教材习题

📝 题目

第291题

设 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{4}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系还可以是
（A） $\boldsymbol{\eta}_{1}-\dot{\boldsymbol{\eta}}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{3}-\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{4}+\boldsymbol{\eta}_{1}$.
（B） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}+\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}$ ．
（C） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{3}+\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{4}+\boldsymbol{\eta}_{1}$ ．
（D） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}-\boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{3}+\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{4}+\boldsymbol{\eta}_{1}$.

💡 答案解析

答案：D
解析：步骤1：基础解系需满足：向量个数为4，线性无关，且每个向量可由原基础解系线性表示。
步骤2：分析选项（A），$(\boldsymbol{\eta}_1-\boldsymbol{\eta}_2)+(\boldsymbol{\eta}_2+\boldsymbol{\eta}_3)+(\boldsymbol{\eta}_3-\boldsymbol{\eta}_4)-(\boldsymbol{\eta}_4+\boldsymbol{\eta}_1)=\boldsymbol{0}$，线性相关，故不是基础解系。
步骤3：分析选项（B），只有3个向量，个数不足，故不是基础解系。
步骤4：分析选项（C），$(\boldsymbol{\eta}_1+\boldsymbol{\eta}_2)-(\boldsymbol{\eta}_2+\boldsymbol{\eta}_3)+(\boldsymbol{\eta}_3+\boldsymbol{\eta}_4)-(\boldsymbol{\eta}_4+\boldsymbol{\eta}_1)=\boldsymbol{0}$，线性相关，故不是基础解系。
步骤5：分析选项（D），向量个数为4，且线性无关（系数矩阵行列式不为0），故是基础解系。
难度：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：步骤1：理解基础解系的条件
基础解系需满足：向量个数等于解空间的维数（本题为4），线性无关，且每个向量可由原基础解系线性表示。
提示：注意基础解系向量个数必须等于解空间维数
步骤 2/6
目标：步骤2：分析选项（A）
选项（A）的向量组为：$\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{3}-\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{4}+\boldsymbol{\eta}_{1}$。计算线性组合：$(\boldsymbol{\eta}_1-\boldsymbol{\eta}_2)+(\boldsymbol{\eta}_2+\boldsymbol{\eta}_3)+(\boldsymbol{\eta}_3-\boldsymbol{\eta}_4)-(\boldsymbol{\eta}_4+\boldsymbol{\eta}_1)=\boldsymbol{0}$，存在非零系数，故线性相关，不是基础解系。
提示：注意系数和为零时线性相关
步骤 3/6
目标：步骤3：分析选项（B）
选项（B）的向量组为：$\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}+\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}$。只有3个向量，而解空间维数为4，个数不足，故不是基础解系。
提示：基础解系向量个数必须等于解空间维数
步骤 4/6
目标：步骤4：分析选项（C）
选项（C）的向量组为：$\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{3}+\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{4}+\boldsymbol{\eta}_{1}$。计算线性组合：$(\boldsymbol{\eta}_1+\boldsymbol{\eta}_2)-(\boldsymbol{\eta}_2+\boldsymbol{\eta}_3)+(\boldsymbol{\eta}_3+\boldsymbol{\eta}_4)-(\boldsymbol{\eta}_4+\boldsymbol{\eta}_1)=\boldsymbol{0}$，存在非零系数，故线性相关，不是基础解系。
公式：$$(\boldsymbol{\eta}_1+\boldsymbol{\eta}_2)-(\boldsymbol{\eta}_2+\boldsymbol{\eta}_3)+(\boldsymbol{\eta}_3+\boldsymbol{\eta}_4)-(\boldsymbol{\eta}_4+\boldsymbol{\eta}_1)=\boldsymbol{0}$$
提示：注意线性组合系数非零即相关
步骤 5/6
目标：步骤5：分析选项（D）
选项（D）的向量组为：$\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}+\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{4}$。向量个数为4，且线性无关（系数矩阵行列式不为0），故是基础解系。
提示：注意系数矩阵行列式非零即线性无关
步骤 6/6
目标：步骤6：得出结论
因此，正确选项为（D）。
提示：注意非齐次解的结构与线性无关性

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