kaoyan2advanced 线性代数 第295题
📝 题目
第295题
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n \times m$ 矩阵且 $r(\boldsymbol{A})=n$ ，则下列命题中正确的是
（A） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 必为可逆矩阵．
（B） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 必为可逆矩阵．
（C） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 必与单位矩阵相似．
（D） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 必与单位矩阵相似．
💡 答案解析
答案：A
解析：步骤1：$\boldsymbol{A}$为$n\times m$矩阵，$r(\boldsymbol{A})=n$，则$\boldsymbol{A}$行满秩。
步骤2：$\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T$为$n\times n$矩阵，且$r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T)=r(\boldsymbol{A})=n$，故$\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T$满秩，可逆，故（A）正确。
步骤3：$\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}$为$m\times m$矩阵，$r(\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A})=n
步骤5：$\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}$不可逆，不与单位矩阵相似，故（D）错误。
难度：★★☆☆☆