kaoyan2advanced 线性代数 第312题
📝 题目
第312题
已知方程组
$\left\{\begin{aligned}$
x_{1}-2 x_{2}-3 x_{3} & =1, \\
x_{1}+2 x_{2}+(2 a-1) x_{3} & =1, \\
a x_{1}+2 x_{2}+a x_{3} & =1,
$\end{aligned}\right.$
有无穷多解，求 $a$ 的值并求方程组的通解．
💡 答案解析
答案：$a=2$，通解为$\boldsymbol{x}=(-1,0,0)^{\mathrm{T}}+k(1,1,0)^{\mathrm{T}}$，$k$为任意常数。
解析：
步骤1：写出增广矩阵$\overline{\boldsymbol{A}}=\begin{bmatrix}1 & -2 & -3 & 1\\1 & 2 & 2a-1 & 1\\a & 2 & a & 1\end{bmatrix}$，进行初等行变换：
$\begin{bmatrix}1 & -2 & -3 & 1\\0 & 4 & 2a+2 & 0\\0 & 2+2a & 4a & 1-a\end{bmatrix}$。
步骤2：方程组有无穷多解，则$r(\boldsymbol{A})=r(\overline{\boldsymbol{A}})<3$。令第二行与第三行成比例，解得$a=2$。
步骤3：代入$a=2$，增广矩阵化为$\begin{bmatrix}1 & -2 & -3 & 1\\0 & 4 & 6 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$，得同解方程组$\begin{cases}x_1-2x_2-3x_3=1\\4x_2+6x_3=0\end{cases}$，取$x_3$为自由变量，得通解$\boldsymbol{x}=(-1,0,0)^{\mathrm{T}}+k(1,1,0)^{\mathrm{T}}$。
难度：★★☆☆☆