kaoyan2advanced 高等数学 第67题
📝 题目
第67题
设 $D$ 是由 $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ 所确定的平面，则 $\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}))$
解析：
步骤1：区域$D$为正方形$0\le x\le1, 0\le y\le1$，用极坐标，分两部分：$\displaystyle \theta\in[0,\frac{\pi}{4}], r\in[0,\frac{1}{\cos\theta}]$；$\displaystyle \theta\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}], r\in[0,\frac{1}{\sin\theta}]$。
步骤2：
$$
I = \int_0^{\pi/4} d\theta \int_0^{1/\cos\theta} r^2 \,dr + \int_{\pi/4}^{\pi/2} d\theta \int_0^{1/\sin\theta} r^2 \,dr = \frac{1}{3}\int_0^{\pi/4} \frac{d\theta}{\cos^3\theta} + \frac{1}{3}\int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sin^3\theta}.
$$
步骤3：计算得$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}))$。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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