kaoyan2advanced 高等数学 第70题
📝 题目
第70题
70设函数 $f(x, y)$ 连续，交换累次积分 $I=\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+x}^{x+1} f(x, y) \mathrm{d} y$ 的积分次序为问
💡 答案解析
答案：$\int_{-1}^0 dy \int_{-\sqrt{y+1/4}-1/2}^{\sqrt{y+1/4}-1/2} f(x,y) dx + \int_0^2 dy \int_{y-1}^{\sqrt{y+1/4}-1/2} f(x,y) dx$
解析：
步骤1：原积分$x\in[-1,1]$，$y$从$x^2+x$到$x+1$。曲线$y=x^2+x$和$y=x+1$交点：$x^2+x=x+1 \Rightarrow x=\pm1$，$y$对应$0,2$。
步骤2：交换次序，$y$从$0$到$2$，$x$范围：当$y\in[0,2]$，$x$从$y-1$到$\sqrt{y+1/4}-1/2$（由$y=x^2+x$解出$x$）。
步骤3：注意$y\in[-1,0]$时，$x$从$-\sqrt{y+1/4}-1/2$到$\sqrt{y+1/4}-1/2$。
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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