kaoyan2advanced 高等数学 第86题
📝 题目
第86题
在下列函数中，导数 $f^{\prime}(x)$ 在点 $x=0$ 处不连续的是
（A）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{\frac{4}{3}} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$
（B）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0 .\end{array}\right.$
（C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0 .\end{array}\right.$
（D）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+x)}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0 .\end{array}\right.$
💡 答案解析
答案：A
解析：步骤1：对于A，$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x^{4/3}\sin\frac1x-0}{x}=0$，当$x\neq0$时$\displaystyle f'(x)=\frac{4}{3}x^{1/3}\sin\frac1x-x^{1/3}\cos\frac1x$，$\lim_{x\to0}f'(x)$不存在（振荡），故$f'(x)$在$x=0$处不连续。步骤2：B中$f'(0)=0$，$f'(x)$连续；C中$\displaystyle f'(0)=\frac12$，$f'(x)$连续；D中$\displaystyle f'(0)=\frac12$，$f'(x)$连续。
难度：★★☆☆☆