kaoyan2advanced 高等数学 第91题
📝 题目
第91题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x} g(x), & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 在 $x=0$ 的一个邻域内二阶导数存在，且 $g(0)=0, g^{\prime}(0)=0$ ，则
（A）$f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续．
（B）$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导．
（C）$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，但其导函数不连续．
（D）$f(x)$ 在 $x=0$ 处导函数连续．
💡 答案解析
答案：D
解析：步骤1：$f(0)=0$，$\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x}=g'(0)=0$，故$f(x)$在$x=0$处连续。步骤2：$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-0}{x}=\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x^2}=\frac{g''(0)}{2}$（由泰勒展开$\displaystyle g(x)=g(0)+g'(0)x+\frac{g''(0)}{2}x^2+o(x^2)$），存在。步骤3：当$x\neq0$时，$\displaystyle f'(x)=\frac{g'(x)x-g(x)}{x^2}$，$\displaystyle \lim_{x\to0}f'(x)=\lim_{x\to0}\frac{g'(x)x-g(x)}{x^2}$，用洛必达或泰勒得$\displaystyle \frac{g''(0)}{2}=f'(0)$，故$f'(x)$在$x=0$处连续。
难度：★★★☆☆