kaoyan2advanced 高等数学 第93题
📝 题目
第93题
设有命题
（1）若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处可导。
（2）若 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导．
（3）若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，且 $f\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处不可导．
（4）若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，且 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导．
则上述命题中正确的个数为
（A） 0 ．
（B） 1 ．
（C） 2 ．
（D） 3 ．
💡 答案解析
答案：B
解析：步骤1：命题(1)错误，反例$f(x)=\begin{cases}1,&x\geq0\\-1,&x<0\end{cases}$，$|f(x)|=1$可导，但$f(x)$在0处不可导。步骤2：命题(2)错误，反例$f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\\-1,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$，$|f(x)|=1$可导，但$f(x)$不连续。步骤3：命题(3)正确，若$f(x_0)=0$，$f'(x_0)\neq0$，则$|f(x)|$在$x_0$处左右导数分别为$\pm|f'(x_0)|$，不相等，故不可导。步骤4：命题(4)错误，反例$f(x)=\begin{cases}x,&x\geq0\\-x,&x<0\end{cases}$，$|f(x)|=|x|$在0处可导？实际上$|x|$在0处不可导，需另找：$f(x)=x$，$|f(x)|=|x|$在0处不可导，不满足条件。取$f(x)=x^2$，$|f(x)|=x^2$可导，$f(x)$也可导，但这不是反例。反例：$f(x)=\begin{cases}x,&x\geq0\\0,&x<0\end{cases}$，$|f(x)|=\begin{cases}x,&x\geq0\\0,&x<0\end{cases}$在0处可导（导数为0），但$f(x)$在0处不可导（左导0，右导1）。故(4)错误。综上，只有(3)正确，个数为1。
难度：★★★☆☆