kaoyan3basic 线性代数 第363题
📝 题目
第363题
363 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{1}=$
（A）$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 3 & 3 & 0\end{array}\right]$ ．
（B）$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right]$ ．
（C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 3 \\ -3 & 0 & -3 \\ 7 & -1 & 9\end{array}\right]$ ．
（D）$\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 1 \\ 7 & 7 & 1\end{array}\end{array}\right]$ ．
$\boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{lll}$
💡 答案解析
答案：B
解析：
先分析初等矩阵的作用。
- $P_1$ 是左乘时对行进行变换，右乘时对列进行变换。
- $P_2$ 同理。
题目要求 $P_2 A P_1$，即先对 $A$ 右乘 $P_1$（列变换），再左乘 $P_2$（行变换）。
**第一步：计算 $A P_1$（列变换）**
$P_1$ 右乘表示：第3列加上第2列的 -1 倍（即第3列减去第2列）。
对矩阵 $A$ 做此变换：
原矩阵
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$
新第3列 = 原第3列 - 原第2列：
第一行：3-2=1
第二行：6-5=1
第三行：9-8=1
得到
$$
A P_1 = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
4 & 5 & 1 \\
7 & 8 & 1
\end{pmatrix}
$$
**第二步：左乘 $P_2$（行变换）**
$P_2$ 左乘表示：第2行减去第3行。
对上面矩阵做此变换：
新第2行 = 原第2行 - 原第3行：
第一列：4-7=-3
第二列：5-8=-3
第三列：1-1=0
得到
$$
P_2 (A P_1) = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-3 & -3 & 0 \\
7 & 8 & 1
\end{pmatrix}
$$
但观察选项，没有直接匹配这个结果。说明可能对初等矩阵作用方向理解不同。检查 $P_1$ 和 $P_2$ 的形式：
- $P_1$ 是单位矩阵在(3,2)位置加 -1，右乘时表示“第2列加到第3列上乘以 -1”，即第3列减去第2列，没错。
- $P_2$ 是单位矩阵在(2,3)位置加 -1，左乘时表示“第3行加到第2行上乘以 -1”，即第2行减去第3行，也没错。
重新检查计算：
$A P_1$ 结果正确。
左乘 $P_2$：
第1行不变：(1,2,1)
第2行 = (4,5,1) - (7,8,1) = (-3,-3,0)
第3行不变：(7,8,1)
结果矩阵为
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-3 & -3 & 0 \\
7 & 8 & 1
\end{pmatrix}
$$
选项中没有这个。可能题目中 $P_1$ 和 $P_2$ 的定义顺序或乘法顺序有不同理解。尝试另一种顺序：先左乘 $P_2$ 再右乘 $P_1$，结果相同（因为左右乘不同类可交换顺序？实际上矩阵乘法不交换，但这里左右乘对象不同，顺序可调换计算）。
先左乘 $P_2$ 得
$$
P_2 A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4-7 & 5-8 & 6-9 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
-3 & -3 & -3 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$
再右乘 $P_1$：第3列减第2列得
第一行：3-2=1
第二行：-3 - (-3)=0
第三行：9-8=1
得到
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-3 & -3 & 0 \\
7 & 8 & 1
\end{pmatrix}
$$
结果相同。
观察选项，发现选项B为
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3 \\
3 & 3 & 3
\end{pmatrix}
$$
这看起来像是把某些行或列做了加法。推测可能 $P_1$ 和 $P_2$ 的作用被理解为行变换与列变换互换，或者题目中矩阵乘法顺序是 $P_1 A P_2$？
若计算 $P_1 A P_2$：
先右乘 $P_2$：第3列加第2列（因为 $P_2$ 右乘表示第2列加到第3列？注意 $P_2$ 在(2,3)位置是 -1，右乘时表示第3列加上第2列的 -1 倍，即第3列减第2列，和上面一样）。
不对，仔细看 $P_2$ 形式：
$$
P_2 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}
$$
右乘时，第3列变为原第3列 + 第2列×(-1)，即减第2列。
左乘时，第2行变为原第2行 + 第3行×(-1)，即减第3行。
若交换顺序为 $P_1 A P_2$：
先右乘 $P_2$：得
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
4 & 5 & 1 \\
7 & 8 & 1
\end{pmatrix}
$$
再左乘 $P_1$：$P_1$ 左乘表示第3行减第2行：
第三行变为 (7-4, 8-5, 1-1) = (3,3,0)
得
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
4 & 5 & 1 \\
3 & 3 & 0
\end{pmatrix}
$$
这是选项A。但题目给的是 $P_2 A P_1$，不是这个顺序。
若按题目顺序 $P_2 A P_1$，我们之前算得
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-3 & -3 & 0 \\
7 & 8 & 1
\end{pmatrix}
$$
不在选项中。但注意选项C是
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
-3 & 0 & -3 \\
7 & -1 & 9
\end{pmatrix}
$$
这看起来像是做了不同的加减。可能我误解了初等矩阵的方向。另一种常见定义：右乘初等矩阵时，若初等矩阵 $E$ 是由单位矩阵第i行加k倍第j行得到，则右乘 $E$ 表示将第j列加k倍第i列（行列互换）。按此规则：
- $P_1$ 是单位矩阵第3行加 -1倍第2行，右乘时表示第2列加 -1倍第3列，即第2列减第3列。
- $P_2$ 是单位矩阵第2行加 -1倍第3行，左乘时表示第2行加 -1倍第3行，即第2行减第3行。
按此重新计算 $P_2 A P_1$：
先右乘 $P_1$（列变换：第2列减第3列）：
原A：
第2列变为：2-3=-1, 5-6=-1, 8-9=-1
得
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
4 & -1 & 6 \\
7 & -1 & 9
\end{pmatrix}
$$
再左乘 $P_2$（行变换：第2行减第3行）：
第2行变为 (4-7, -1-(-1), 6-9) = (-3, 0, -3)
得
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
-3 & 0 & -3 \\
7 & -1 & 9
\end{pmatrix}
$$
这正是选项C。
因此正确答案是C。
难度：★★☆☆☆