kaoyan3basic 概率论与数理统计 第512题
📝 题目
第512题
512 设随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为 $F(x, y)$ ，边缘分布为 $F_{X}(x)$ 和 $F_{Y}(y)$ ，则概率 $P\{X>x, Y>y\}$ 等于
（A） $1-F(x, y)$ ．
（B） $1-F_{X}(x)-F_{Y}(y)$ ．
（C）$F(x, y)-F_{X}(x)-F_{Y}(y)+1$ ．
（D）$F_{X}(x)+F_{Y}(y)+F(x, y)-1$ ．
💡 答案解析
答案：C
解析：步骤1：$P\{X>x, Y>y\} = 1 - P\{X \leqslant x\} - P\{Y \leqslant y\} + P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\}$。
步骤2：即$1 - F_X(x) - F_Y(y) + F(x,y)$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将概率转化为分布函数表示
利用概率的补集性质，将 P{X>x, Y>y} 转化为 1 - P{X≤x} - P{Y≤y} + P{X≤x, Y≤y}。
公式：P{X>x, Y>y} = 1 - P{X≤x} - P{Y≤y} + P{X≤x, Y≤y}
提示：注意事件{X>x, Y>y}的补集是{X≤x}∪{Y≤y}，利用容斥原理。
步骤 2/2
目标：代入分布函数
根据定义，P{X≤x}=F_X(x)，P{Y≤y}=F_Y(y)，P{X≤x, Y≤y}=F(x,y)，代入得 1 - F_X(x) - F_Y(y) + F(x,y)。
公式：P{X>x, Y>y} = 1 - F_X(x) - F_Y(y) + F(x,y)
提示：注意边缘分布函数与联合分布函数的关系。
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