kaoyan3basic 概率论与数理统计 第554题
📝 题目
第554题
554 设 $X_{n}$ 表示将一硬币随意投掷 $n$ 次＂正面＂出现的次数，则
（A） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_{n}-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ．
（B） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_{n}-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ．
（C） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_{n}-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ．
（D） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_{n}-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ．
💡 答案解析
答案：C
解析：步骤1：投掷硬币正面概率$\displaystyle p=\frac{1}{2}$，$\displaystyle X_n\sim B(n,\frac{1}{2})$，$\displaystyle E(X_n)=\frac{n}{2}$，$\displaystyle D(X_n)=\frac{n}{4}$。
步骤2：由中心极限定理，$\displaystyle \frac{X_n-\frac{n}{2}}{\sqrt{n/4}}=\frac{2X_n-n}{\sqrt{n}}\xrightarrow{d}N(0,1)$，故$\displaystyle \lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{2X_n-n}{\sqrt{n}}\le x\right\}=\Phi(x)$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定随机变量及其分布
设X_n为n次投掷中正面出现的次数，每次投掷正面概率p=1/2，故X_n服从二项分布B(n, 1/2)。
公式：X_n ~ B(n, 1/2)
提示：二项分布适用于独立重复试验。
步骤 2/4
目标：计算期望和方差
计算X_n的期望和方差：E(X_n)=np=n/2，D(X_n)=np(1-p)=n/4。
公式：E(X_n)=n/2, D(X_n)=n/4
提示：二项分布的期望和方差公式。
步骤 3/4
目标：应用中心极限定理
由中心极限定理，标准化后的随机变量渐近服从标准正态分布：\frac{X_n - E(X_n)}{\sqrt{D(X_n)}} = \frac{X_n - n/2}{\sqrt{n/4}} = \frac{2X_n - n}{\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)。
公式：\frac{2X_n - n}{\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)
提示：中心极限定理要求n足够大。
步骤 4/4
目标：得出极限分布
因此，\lim_{n\to\infty} P\left\{\frac{2X_n - n}{\sqrt{n}} \le x\right\} = \Phi(x)，其中\Phi(x)为标准正态分布函数。
公式：\lim_{n\to\infty} P\left\{\frac{2X_n - n}{\sqrt{n}} \le x\right\} = \Phi(x)
提示：选项C正确。
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