kaoyan3basic 概率论与数理统计 第572题
📝 题目
第572题
572 设 $\hat{\theta}$ 为末知参数 $\theta$ 的一个估计，且 $E \hat{\theta}=\theta, D \hat{\theta}>0$ ，则
（A）$E\left(\hat{\theta}^{2}\right)>\theta^{2}$ ．
（B）$E\left(\hat{\theta}^{2}\right)=\theta^{2}$ ．
（C）$E\left(\hat{\theta}^{2}\right)<\theta^{2}$ ．
（D）$E\left(\hat{\theta}^{2}\right)$ 与 $\theta^{2}$ 的大小与 $\hat{\theta}$ 有关．
💡 答案解析
答案：A
解析：
步骤1：由$E\hat{\theta}=\theta$，$D\hat{\theta}=E(\hat{\theta}^2)-(E\hat{\theta})^2=E(\hat{\theta}^2)-\theta^2>0$。
步骤2：因此$E(\hat{\theta}^2)>\theta^2$。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用方差公式推导期望平方的关系
由已知条件，$E\hat{ heta}=\theta$，$D\hat{ heta}>0$。根据方差公式：$D\hat{ heta}=E(\hat{ heta}^2)-(E\hat{ heta})^2=E(\hat{ heta}^2)-\theta^2>0$。
公式：D\hat{\theta}=E(\hat{\theta}^2)-(E\hat{\theta})^2
提示：注意方差非负，且此处严格大于0。
步骤 2/2
目标：得出结论
由$E(\hat{ heta}^2)-\theta^2>0$，移项得$E(\hat{ heta}^2)>\theta^2$。因此选项A正确。
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