kaoyan3basic 概率论与数理统计 第575题
📝 题目
第575题
575 设总体 $X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=1\}=\frac{1-\theta}{2}, P\{X=2\}=P\{X=3\}=\frac{1+\theta}{4}$ ， $(-1 \leqslant \theta \leqslant 1)$ ．利用来自总体的样本值 $1,3,2,2,1,3,1,2$ 可得 $\theta$ 的矩估计值为
（A）$\displaystyle \frac{1}{6}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ．
基础过关
284
💡 答案解析
答案：B
解析：
步骤1：计算总体均值$\displaystyle E(X)=1\cdot\frac{1-\theta}{2}+2\cdot\frac{1+\theta}{4}+3\cdot\frac{1+\theta}{4}=\frac{1-\theta}{2}+\frac{5(1+\theta)}{4}=\frac{2-2\theta+5+5\theta}{4}=\frac{7+3\theta}{4}$。
步骤2：样本均值$\displaystyle \bar{x}=\frac{1+3+2+2+1+3+1+2}{8}=\frac{15}{8}=1.875$。
步骤3：令$\displaystyle \frac{7+3\theta}{4}=1.875$，解得$7+3\theta=7.5$，$\displaystyle \theta=\frac{1}{6}$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算总体均值 E(X)
总体均值 E(X) = 1 * (1-θ)/2 + 2 * (1+θ)/4 + 3 * (1+θ)/4 = (1-θ)/2 + 5(1+θ)/4 = (2-2θ+5+5θ)/4 = (7+3θ)/4
公式：E(X) = Σ x * P(X=x)
提示：注意概率之和为1，计算时合并同类项
步骤 2/3
目标：计算样本均值
样本值：1,3,2,2,1,3,1,2，共8个。样本均值 = (1+3+2+2+1+3+1+2)/8 = 15/8 = 1.875
公式：样本均值 = (1/n) Σ x_i
提示：仔细求和，避免计算错误
步骤 3/3
目标：令总体均值等于样本均值，解出θ
令 (7+3θ)/4 = 1.875，两边乘以4得 7+3θ = 7.5，移项得 3θ = 0.5，解得 θ = 1/6
公式：矩估计法：E(X) = 样本均值
提示：注意θ的取值范围为[-1,1]，1/6在此范围内
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