kaoyan3basic 线性代数 第311题
📝 题目
第311题
311 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,3,4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(5,1,8)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{5}=(0,0$, 2）${ }^{\mathrm{T}}$ 的一个极大线性无关组是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_5$（或等价组）
解析：
步骤1：构造矩阵$(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4,\boldsymbol{\alpha}_5)=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 8 & 2\end{pmatrix}$，行变换：
$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 5 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 8 & 2\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & -5 & -5 & 5 & 2\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$。
步骤2：主元列对应第1、2、5列，故一个极大线性无关组为$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_5$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造向量组矩阵
将向量α1, α2, α3, α4, α5按列排成矩阵A：A = (α1, α2, α3, α4, α5) = [[2,1,3,5,0],[1,2,3,1,0],[3,1,4,8,2]]
提示：注意向量是列向量，按列放置。
步骤 2/3
目标：行变换化为行最简形
对矩阵A进行初等行变换：先交换第1行和第2行，然后第2行减去2倍第1行，第3行减去3倍第1行，得到[[1,2,3,1,0],[0,-3,-3,3,0],[0,-5,-5,5,2]]；再将第2行除以-3，得到[[1,2,3,1,0],[0,1,1,-1,0],[0,-5,-5,5,2]]；然后第3行加上5倍第2行，得到[[1,2,3,1,0],[0,1,1,-1,0],[0,0,0,0,2]]。
提示：行变换过程中注意保持矩阵等价。
步骤 3/3
目标：确定主元列
行最简形中，主元位于第1列、第2列和第5列，因此对应的原向量α1, α2, α5构成一个极大线性无关组。
提示：主元列对应极大无关组中的向量。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。