kaoyan3basic 线性代数 第417题
📝 题目
第417题
417 已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ，则下列命题中
（1） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \sim \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ ，
（2） $\boldsymbol{A}^{2} \sim \boldsymbol{B}^{2}$,
（3） $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$ ，
（4） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \sim \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$,正确的命题共有
（A） 4 个．
（B） 3 个．
（C） 2 个．
（D） 1 个．
💡 答案解析
答案：A
解析：由$\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}$知存在可逆$\boldsymbol{P}$使$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$，则
(1)$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\sim\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$（因$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A})\boldsymbol{P}$），
(2)$\boldsymbol{A}^2\sim\boldsymbol{B}^2$，
(3)$\boldsymbol{A}^{-1}\sim\boldsymbol{B}^{-1}$，
(4)$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\sim\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$，均成立。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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