人邮高数 第2章 第2-3-5题
📝 题目
5．求下列函数的微分：
（1）$y=x \ln x-x^{2}$ ；
（2）$y=\arcsin \sqrt{x}$ ；
（3）$y=x \arctan \sqrt{x}$ ；
（4）$\displaystyle y=\ln \left(\tan \frac{x}{2}\right)$ ；
（5）$y=1+x \mathrm{e}^{y}$ ；
（6）$y^{2} \cos x=\sin 3 x$ ；
（7）$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ；
（8）$\displaystyle y=\frac{x^{3}-1}{x^{3}+1}$ ；
（9）$y=\tan ^{2}\left(1+2 x^{2}\right)$ ；
（10）$y=3^{\ln (\tan x)}$ ；
（11）$y=x^{5 x}$ ；
（12） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{x}{y}}-x y=0$ ；
（13）$y^{2}+\ln y=x^{4}$ ；
（14）$y=\cos (x y)-x$ ．
💡 答案解析
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5. 求下列函数的微分
微分公式：$dy = y' \, dx$，以下先求导数 $y'$。
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（1）$y=x \ln x - x^{2}$
$$y' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 2x = \ln x + 1 - 2x$$
所以
$$dy = (\ln x + 1 - 2x) \, dx$$
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（2）$y=\arcsin \sqrt{x}$
$$y' = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$$
所以
$$dy = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}} \, dx$$
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（3）$y=x \arctan \sqrt{x}$
$$y' = \arctan\sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \arctan\sqrt{x} + \frac{x}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
化简第二项：
$$\frac{x}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{2(1+x)}$$
所以
$$dy = \left( \arctan\sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2(1+x)} \right) dx$$
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（4）$\displaystyle y=\ln \left( \tan \frac{x}{2} \right)$
$$y' = \frac{1}{\tan\frac{x}{2}} \cdot \sec^2\frac{x}{2} \cdot \frac12 = \frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}} \cdot \frac12 = \frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x} = \csc x$$
所以
$$dy = \csc x \, dx$$
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（5）$y=1+x \mathrm{e}^{y}$
隐函数求导：两边对 $x$ 求导
$$y' = \mathrm{e}^{y} + x \mathrm{e}^{y} y'$$
移项：
$$y' - x\mathrm{e}^{y} y' = \mathrm{e}^{y} \quad\Rightarrow\quad y'(1 - x\mathrm{e}^{y}) = \mathrm{e}^{y}$$
所以
$$y' = \frac{\mathrm{e}^{y}}{1 - x\mathrm{e}^{y}}$$
微分：
$$dy = \frac{\mathrm{e}^{y}}{1 - x\mathrm{e}^{y}} \, dx$$
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（6）$y^{2} \cos x = \sin 3x$
两边对 $x$ 求导：
$$2y y' \cos x - y^{2} \sin x = 3\cos 3x$$
解出 $y'$：
$$2y\cos x \cdot y' = 3\cos 3x + y^{2}\sin x$$
$$y' = \frac{3\cos 3x + y^{2}\sin x}{2y\cos x}$$
所以
$$dy = \frac{3\cos 3x + y^{2}\sin x}{2y\cos x} \, dx$$
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（7）$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$
$$y' = \frac{\sqrt{1+x^{2}} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}} = \frac{\frac{1+x^{2} - x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}} = \frac{1}{(1+x^{2})^{3/2}}$$
所以
$$dy = \frac{1}{(1+x^{2})^{3/2}} \, dx$$
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（8）$\displaystyle y=\frac{x^{3}-1}{x^{3}+1}$
$$y' = \frac{3x^{2}(x^{3}+1) - (x^{3}-1)3x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}} = \frac{3x^{2}(x^{3}+1 - x^{3}+1)}{(x^{3}+1)^{2}} = \frac{6x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}}$$
所以
$$dy = \frac{6x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}} \, dx$$
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（9）$y=\tan^{2}(1+2x^{2})$
$$y' = 2\tan(1+2x^{2}) \cdot \sec^{2}(1+2x^{2}) \cdot 4x = 8x \tan(1+2x^{2}) \sec^{2}(1+2x^{2})$$
所以
$$dy = 8x \tan(1+2x^{2}) \sec^{2}(1+2x^{2}) \, dx$$
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（10）$y=3^{\ln(\tan x)}$
取对数：$\ln y = \ln(\tan x) \cdot \ln 3$，求导：
$$\frac{y'}{y} = \frac{\ln 3}{\tan x} \cdot \sec^{2}x = \ln 3 \cdot \frac{\sec^{2}x}{\tan x} = \frac{\ln 3}{\sin x \cos x} = \frac{2\ln 3}{\sin 2x}$$
所以
$$y' = 3^{\ln(\tan x)} \cdot \frac{2\ln 3}{\sin 2x}$$
微分：
$$dy = 3^{\ln(\tan x)} \cdot \frac{2\ln 3}{\sin 2x} \, dx$$
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（11）$y=x^{5x}$
取对数：$\ln y = 5x \ln x$，求导：
$$\frac{y'}{y} = 5\ln x + 5x \cdot \frac{1}{x} = 5\ln x + 5$$
所以
$$y' = x^{5x} \cdot 5(\ln x + 1)$$
微分：
$$dy = 5x^{5x}(\ln x + 1) \, dx$$
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（12）$\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{x}{y}} - xy = 0$
隐函数：$\mathrm{e}^{x/y} = xy$，两边对 $x$ 求导：
$$\mathrm{e}^{x/y} \cdot \frac{y - x y'}{y^{2}} = y + x y'$$
代入 $\mathrm
📋 详细解题步骤
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