人邮高数 第2章 第2-4-10题

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习题2-4 第10题 利用洛必达法则求极限

(1) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5 x}{x}$
此为 $\displaystyle \frac{0}{0}$ 型，用洛必达法则：
$$
\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{5\cos 5x}{1}=5\cdot 1 =5.
$$

(2) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+x^{2}-5 x}{x^{3}-4 x^{2}+5 x}$
分子分母可约去 $x$（$x\to 0$ 时 $x\neq 0$），先化简：
$$
\frac{x(x^2+x-5)}{x(x^2-4x+5)} = \frac{x^2+x-5}{x^2-4x+5},
$$
则极限为 $\displaystyle \frac{0+0-5}{0-0+5} = -1$。
（也可用洛必达，但直接化简更简单。）

(3) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\sin x}$
$\displaystyle \frac{0}{0}$ 型，洛必达：
$$
\lim_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}}{\cos x} = \frac{1+1}{1}=2.
$$

(4) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2} x}{x^{2}}$
$1-\cos^2 x = \sin^2 x$，则
$$
\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right)^2 = 1^2=1.
$$

(5) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\ln (\sin x)}{(\pi-2 x)^{2}}$
令 $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}-x$，则 $\displaystyle x\to \frac{\pi}{2}$ 时 $t\to 0$，$\sin x = \cos t$，$\pi-2x = 2t$，
原式 $\displaystyle = \lim_{t\to 0}\frac{\ln(\cos t)}{4t^2}$。
$\displaystyle \ln(\cos t) \sim -\frac{t^2}{2}$（$t\to 0$），故极限 $\displaystyle = \frac{-\frac12}{4} = -\frac18$。
或用洛必达：
$$
\lim_{t\to 0}\frac{-\sin t/\cos t}{8t} = \lim_{t\to 0}\frac{-\tan t}{8t} = -\frac18.
$$

(6) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan x-1}{\sin 4 x}$
$\displaystyle \frac{0}{0}$ 型，洛必达：
$$
\lim_{x\to \pi/4}\frac{\sec^2 x}{4\cos 4x} = \frac{(\sqrt{2})^2}{4\cdot (-1)} = \frac{2}{-4} = -\frac12.
$$

(7) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 5 x}{\tan 2 x}$
$\displaystyle \frac{0}{0}$ 型，洛必达：
$$
\lim_{x\to 0}\frac{5\sec^2 5x}{2\sec^2 2x} = \frac{5\cdot 1}{2\cdot 1} = \frac52.
$$

(8) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{x^{3}+5 x^{2}-6 x-16}$
代入 $x=2$ 得 $\displaystyle \frac{0}{0}$，洛必达：
分子导 $4x^3$，分母导 $3x^2+10x-6$，
$$
\lim_{x\to 2}\frac{4x^3}{3x^2+10x-6} = \frac{32}{12+20-6} = \frac{32}{26} = \frac{16}{13}.
$$

(9) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x-\sin x}$
$\displaystyle \frac{0}{0}$ 型，连续洛必达：
第一次：$\displaystyle \frac{\sec^2 x -1}{1-\cos x} = \frac{\tan^2 x}{1-\cos x}$，
第二次：$\displaystyle \frac{2\tan x \sec^2 x}{\sin x} = \frac{2\sin x/\cos^3 x}{\sin x} = \frac{2}{\cos^3 x} \to 2$。
故极限为 $2$。

(10) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1}{6\left(\mathrm{e}^{x}-1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}}$
化简分子：$2xe^x - e^x +1$，分母：$6e^x(e^x-1)$。
$x\to 0$ 时分子 $\sim 2x(1+x) - (1+x)+1 = 2x+2x^2 -1 -x +1 = x+2x^2$，分母 $\sim 6(1)(x) = 6x$，故极限 $\displaystyle = \frac{1}{6}$。
或用洛必达：
分子导 $2e^x+2xe^x - e^x = e^x+2xe^x$，分母导 $6[e^x(e^x-1)+e^x\cdot e^x] = 6[e^{2x}-e^x+e^{2x}] = 6(2e^{2x}-e^x)$，
$x=0$ 时分子 $=1$，分母 $=6(2-1)=6$，得 $\displaystyle \frac16$。

(11) $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x+2}{x^{3}-x^{2}-x+1}$
代入 $x=1$ 得 $\displaystyle \frac{0}{0}$，因式分解：分子 $(x-1)^2(x+2)$，分母 $(x-1)^2(x+1)$，约去 $(x-1)^2$ 得 $\displaystyle \frac{x+2}{x+1}$，极限 $\displaystyle = \frac{3}{2}$。

(12) $\displaystyle{\