人邮高数 第2章 第2-4-5题
📝 题目
5．试用拉格朗日中值定理证明：
（1）若 $0\lt b \leqslant a$ ，则 $\displaystyle \frac{a-b}{a} \leqslant \ln \frac{a}{b} \leqslant \frac{a-b}{b}$ ；
（2）若 $a\gt b\gt 0, n\gt 1$ ，则 $n b^{n-1}(a-b)\lt a^{n}-b^{n}\lt n a^{n-1}(a-b)$ ；
（3）$\displaystyle \frac{1}{n+1}\lt \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\lt \frac{1}{n}$ ；
（4）当 $x\gt 1$ 时， $\mathrm{e}^{x}\gt \mathrm{e} x$ 。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1） 设 $f(x)=\ln x$，在区间 $[b,a]$ 上应用拉格朗日中值定理（$0 存在 $\xi\in(b,a)$ 使得 （2） 设 $f(x)=x^{n}$，在区间 $[b,a]$ 上应用拉格朗日中值定理： 存在 $\xi\in(b,a)$ 使得 （3） 取 $a=1+\frac{1}{n},\ b=1$，代入（1）中结论： 此时 $a-b=\frac{1}{n}$，且 $\ln\frac{a}{b}=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$， （4） 设 $f(t)=\mathrm{e}^{t}$，在区间 $[1,x]$（$x>1$）上应用拉格朗日中值定理： 存在 $\xi\in(1,x)$ 使得 难度：★★☆☆☆
$$
\frac{\ln a-\ln b}{a-b}=f'(\xi)=\frac{1}{\xi}.
$$
由于 $b<\xi
\frac{1}{a}<\frac{1}{\xi}<\frac{1}{b}.
$$
于是
$$
\frac{1}{a}<\frac{\ln\frac{a}{b}}{a-b}<\frac{1}{b}.
$$
乘以正数 $a-b$ 即得
$$
\frac{a-b}{a}<\ln\frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}.
$$
当 $a=b$ 时等号成立，因此原不等式成立。
$$
\frac{a^{n}-b^{n}}{a-b}=n\xi^{n-1}.
$$
由于 $b<\xi
$$
n b^{n-1}
乘以正数 $a-b$ 即得
$$
n b^{n-1}(a-b)
由（1）得
$$
\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}<\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{\frac{1}{n}}{1}.
$$
即
$$
\frac{1}{n+1}<\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}.
$$
$$
\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{1}}{x-1}=\mathrm{e}^{\xi}.
$$
由于 $\xi>1$，有 $\mathrm{e}^{\xi}>\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}$，于是
$$
\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}}{x-1}>\mathrm{e}.
$$
两边乘以正数 $x-1$ 得
$$
\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}>\mathrm{e}(x-1),
$$
即
$$
\mathrm{e}^{x}>\mathrm{e}x.
$$