人邮高数 第2章 第2-4-9题
📝 题目
9．设 $f(x) 、 g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使 $\left|\begin{array}{ll}f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b)\end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{ll}f(a) & f^{\prime}(\xi) \\ g(a) & g^{\prime}(\xi)\end{array}\right|$.
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知 $f(x), g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。
要证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使得：
$$
\begin{vmatrix}
f(a) & f(b) \\
g(a) & g(b)
\end{vmatrix}
= (b-a)
\begin{vmatrix}
f(a) & f'(\xi) \\
g(a) & g'(\xi)
\end{vmatrix}.
$$
证明步骤：
1. 构造辅助函数
考虑函数
$$
F(x) = \begin{vmatrix}
f(a) & f(x) \\
g(a) & g(x)
\end{vmatrix}
= f(a)g(x) - g(a)f(x).
$$
显然 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且
$$
F'(x) = f(a)g'(x) - g(a)f'(x) = \begin{vmatrix}
f(a) & f'(x) \\
g(a) & g'(x)
\end{vmatrix}.
$$
2. 应用拉格朗日中值定理
由于 $F(x)$ 满足拉格朗日中值定理条件，存在 $\xi \in (a,b)$，使得
$$
F(b) - F(a) = F'(\xi)(b-a).
$$
3. 计算两端
首先，
$$
F(b) = f(a)g(b) - g(a)f(b) = \begin{vmatrix}
f(a) & f(b) \\
g(a) & g(b)
\end{vmatrix},
$$
而
$$
F(a) = f(a)g(a) - g(a)f(a) = 0.
$$
所以
$$
F(b) - F(a) = \begin{vmatrix}
f(a) & f(b) \\
g(a) & g(b)
\end{vmatrix}.
$$
其次，
$$
F'(\xi) = \begin{vmatrix}
f(a) & f'(\xi) \\
g(a) & g'(\xi)
\end{vmatrix}.
$$
因此代入拉格朗日中值公式得
$$
\begin{vmatrix}
f(a) & f(b) \\
g(a) & g(b)
\end{vmatrix}
= (b-a)
\begin{vmatrix}
f(a) & f'(\xi) \\
g(a) & g'(\xi)
\end{vmatrix}.
$$
证毕。
难度：★★☆☆☆