人邮高数 第1章 第1-1-6题
📝 题目
6．求下列函数的定义域：
（1）$\displaystyle y=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}-5 x+6}}$ ；
（2）$\displaystyle y=4 \sqrt{3 x+2}+2 \arcsin \frac{x-1}{2}$ ；
（3）$\displaystyle y=\sqrt{x}+\sqrt[3]{\frac{1}{x-2}}$ ；
（4）$\displaystyle y=\ln \frac{1}{1-x}+\sqrt{x+2}$ ；
（5）$\displaystyle y=\frac{2}{|x|-x}+\sqrt{\ln (3+x)}$ ；
（6）$\displaystyle y=\frac{1}{[x+1]}$ ；
（7）$y=f\left(x^{2}+1\right)$ ，其中 $f(x)$ 的定义域是 $[1,2]$ ；
（8）$y=f(\sin x)+f(\ln x)$ ，其中 $f(x)$ 的定义域是 $[0,1)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细解答。
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（1）$\displaystyle y=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}-5 x+6}}$
解：
分母不能为零，且根号内必须为正，因此
$$
x^2 - 5x + 6 > 0
$$
因式分解得
$$
(x-2)(x-3) > 0
$$
解得
$$
x < 2 \quad \text{或} \quad x > 3
$$
故定义域为
$$
\boxed{(-\infty, 2) \cup (3, +\infty)}
$$
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（2）$\displaystyle y=4 \sqrt{3 x+2}+2 \arcsin \frac{x-1}{2}$
解：
平方根要求 $3x+2 \ge 0$，即
$$
x \ge -\frac{2}{3}
$$
反三角函数 $\arcsin u$ 要求 $|u| \le 1$，即
$$
\left|\frac{x-1}{2}\right| \le 1 \quad\Rightarrow\quad -1 \le \frac{x-1}{2} \le 1
$$
解得
$$
-2 \le x-1 \le 2 \quad\Rightarrow\quad -1 \le x \le 3
$$
取交集得
$$
-\frac{2}{3} \le x \le 3
$$
故定义域为
$$
\boxed{\left[-\frac{2}{3}, 3\right]}
$$
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（3）$\displaystyle y=\sqrt{x}+\sqrt[3]{\frac{1}{x-2}}$
解：
平方根要求 $x \ge 0$。
立方根对分母无限制，但分母不能为零，即 $x-2 \neq 0$，得 $x \neq 2$。
取交集得
$$
x \ge 0 \quad\text{且}\quad x \neq 2
$$
故定义域为
$$
\boxed{[0,2) \cup (2, +\infty)}
$$
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（4）$\displaystyle y=\ln \frac{1}{1-x}+\sqrt{x+2}$
解：
对数要求 $\displaystyle \frac{1}{1-x} > 0$，即 $1-x > 0$，得 $x < 1$。
平方根要求 $x+2 \ge 0$，得 $x \ge -2$。
取交集得
$$
-2 \le x < 1
$$
故定义域为
$$
\boxed{[-2,1)}
$$
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（5）$\displaystyle y=\frac{2}{|x|-x}+\sqrt{\ln (3+x)}$
解：
分母要求 $|x|-x \neq 0$。
- 当 $x \ge 0$ 时，$|x|-x = 0$，不满足；
- 当 $x < 0$ 时，$|x|-x = -x - x = -2x \neq 0$，成立。
因此 $x < 0$。
平方根要求 $\ln(3+x) \ge 0$，即 $3+x \ge 1$，得 $x \ge -2$。
取交集得
$$
-2 \le x < 0
$$
故定义域为
$$
\boxed{[-2,0)}
$$
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（6）$\displaystyle y=\frac{1}{[x+1]}$
解：
$[x+1]$ 表示取整函数，分母不能为零，即 $[x+1] \neq 0$。
$[x+1] = 0$ 等价于 $0 \le x+1 < 1$，即 $-1 \le x < 0$。
因此 $x$ 不能取 $[-1,0)$ 中的值。
故定义域为
$$
\boxed{(-\infty,-1) \cup [0,+\infty)}
$$
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（7）$y=f\left(x^{2}+1\right)$ ，其中 $f(x)$ 的定义域是 $[1,2]$
解：
要求 $x^2+1 \in [1,2]$，即
$$
1 \le x^2+1 \le 2
$$
左边恒成立，右边得 $x^2 \le 1$，即 $-1 \le x \le 1$。
故定义域为
$$
\boxed{[-1,1]}
$$
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（8）$y=f(\sin x)+f(\ln x)$ ，其中 $f(x)$ 的定义域是 $[0,1)$
解：
两个自变量都必须属于 $[0,1)$，即
$$
0 \le \sin x < 1 \quad\text{且}\quad 0 \le \ln x < 1
$$
由 $\sin x$ 条件得 $x \in \displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} [2k\pi, (2k+1)\pi) \setminus \left\{\frac{\pi}{2}+2k\pi\right\}$（因为 $\sin x=1$ 时取不到）。
由 $\ln x$ 条件得 $1 \le x < e$。
取交集，主要考虑 $x$ 在 $[1,e)$ 范围内，此时 $\sin x$ 需满足条件。
在 $[1,e)$ 中，$\sin x$ 始终小于1，且当 $x \in [1,\pi)$ 时 $\sin x \ge 0$，而 $\pi \approx 3.14 > e \approx 2.718$，所以 $[1,e) \subset [1,\pi)$，故 $\sin x \ge 0$ 成立。
因此交集为
$$
1 \le x < e
$$
故定义域为
$$
\boxed{[1,e)}
$$