人邮高数 第2章 第2-6-7题
📝 题目
7．若函数 $f(x)$ 有 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}=1, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=2, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ， $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)=\infty$ ，并且当 $x \in(0,1)$ 时，$f^{\prime}(x)\lt 0$ ，否则 $f^{\prime}(x)\gt 0(x \neq 2)$ ，当 $\displaystyle x \in\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 时， $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，否则 $f^{\prime \prime}(x)\lt 0(x \neq 0)$ ，则
（1）函数 $f(x)$ 的单调区间（注明增减）是 $\_\_\_\_$。
（2）函数曲线的凹区间 $\_\_\_\_$、凸区间 $\_\_\_\_$和拐点是 $\_\_\_\_$ ．
（3）当 $x=$ $\_\_\_\_$时，函数取得极大值 $\_\_\_\_$。
（4）函数的渐近线有 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
根据题目所给条件，逐步分析函数 $f(x)$ 的性质。
（1）单调区间
已知：
- 当 $x \in (0,1)$ 时，$f'(x) < 0$，即函数在该区间单调递减。
- 否则（除 $x=2$ 外），$f'(x) > 0$，即：
- 在 $(-\infty, 0)$ 上，$f'(x) > 0$，单调递增；
- 在 $(1,2)$ 上，$f'(x) > 0$，单调递增；
- 在 $(2, +\infty)$ 上，$f'(x) > 0$，单调递增。
因此单调区间为：
- 递增区间：$(-\infty, 0)$，$(1,2)$，$(2, +\infty)$
- 递减区间：$(0,1)$
（2）凹凸性与拐点
已知：
- 当 $x \in \left(\frac12, 2\right)$ 时，$f''(x) > 0$，即凹区间；
- 否则（除 $x=0$ 外），$f''(x) < 0$，即凸区间。
因此：
- 凹区间：$\left(\frac12, 2\right)$
- 凸区间：$(-\infty, \frac12)$ 和 $(2, +\infty)$
- 拐点出现在二阶导数为零或变号处，这里在 $x = \frac12$ 和 $x = 2$ 处可能为拐点，但 $x=2$ 是无穷间断点，故拐点只有 $x = \frac12$。
（3）极值
由单调性可知：
- 在 $x=0$ 处，由增变减？实际上：
- 在 $(-\infty,0)$ 递增，在 $(0,1)$ 递减，所以 $x=0$ 是极大值点。
- 在 $x=1$ 处，由递减变为递增，所以 $x=1$ 是极小值点。
- 在 $x=2$ 处函数趋于无穷，不是极值点。
极大值在 $x=0$ 处取得，但具体数值未给出，只能写“极大值”为 $f(0)$。
（4）渐近线
由极限条件：
- $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} f(x) = 0$，说明有水平渐近线 $y=0$ 当 $x \to +\infty$。
- $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}} \frac{f(x)}{x} = 1$ 且 $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}}[f(x)-x] = 2$，说明当 $x \to -\infty$ 时有斜渐近线 $y = x + 2$。
- $\displaystyle{\lim_{x \to 2}} f(x) = \infty$，说明有垂直渐近线 $x = 2$。
因此渐近线为：
- 水平渐近线：$y=0$（$x \to +\infty$）
- 斜渐近线：$y = x + 2$（$x \to -\infty$）
- 垂直渐近线：$x = 2$
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填空答案：
（1）单调递增区间：$(-\infty,0)$，$(1,2)$，$(2,+\infty)$；单调递减区间：$(0,1)$
（2）凹区间：$\left(\frac12,2\right)$；凸区间：$(-\infty,\frac12)$，$(2,+\infty)$；拐点：$x=\frac12$
（3）当 $x=0$ 时，函数取得极大值 $f(0)$
（4）渐近线：$y=0$（$x\to+\infty$），$y=x+2$（$x\to-\infty$），$x=2$
难度：★★★☆☆