人邮高数 第2章 第2-6-9题

[AI解答]

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习题2-6 第9题
求下列曲线的拐点及凹凸区间。

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（1）$y=x^{3}-5 x^{2}+3 x+5$

步骤1：求一阶、二阶导数
$$
y' = 3x^{2} - 10x + 3
$$
$$
y'' = 6x - 10
$$

步骤2：令二阶导数为零，求可能的拐点横坐标
$$
6x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{5}{3}
$$

步骤3：判断凹凸区间
- 当 $\displaystyle x < \frac{5}{3}$ 时，$y'' < 0$，曲线是凸的（上凸，或称凹向下）。
- 当 $\displaystyle x > \frac{5}{3}$ 时，$y'' > 0$，曲线是凹的（下凸，或称凹向上）。

步骤4：求拐点坐标
将 $\displaystyle x = \frac{5}{3}$ 代入原函数：
$$
y\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}\right)^{3} - 5\left(\frac{5}{3}\right)^{2} + 3\left(\frac{5}{3}\right) + 5
$$
计算：
$$
= \frac{125}{27} - 5\cdot\frac{25}{9} + 5 + 5
$$
注意 $\displaystyle 5\cdot\frac{25}{9} = \frac{125}{9} = \frac{375}{27}$，且 $\displaystyle 3\cdot\frac{5}{3}=5$，所以：
$$
= \frac{125}{27} - \frac{375}{27} + 5 + 5 = -\frac{250}{27} + 10 = -\frac{250}{27} + \frac{270}{27} = \frac{20}{27}
$$
因此拐点为 $\left(\displaystyle\frac{5}{3},\ \frac{20}{27}\right)$。

答案（1）
- 凸区间：$\left(-\infty,\ \displaystyle\frac{5}{3}\right)$
- 凹区间：$\left(\displaystyle\frac{5}{3},\ +\infty\right)$
- 拐点：$\left(\displaystyle\frac{5}{3},\ \frac{20}{27}\right)$

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（2）$y=\ln(x^{2}+1)$

步骤1：求一阶、二阶导数
$$
y' = \frac{2x}{x^{2}+1}
$$
$$
y'' = \frac{2(x^{2}+1) - 2x \cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2x^{2}+2 - 4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2 - 2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}
$$

步骤2：令二阶导数为零
$$
2(1-x^{2}) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 1
$$

步骤3：判断凹凸区间
分母 $(x^{2}+1)^{2} > 0$ 恒成立，符号由分子 $1-x^{2}$ 决定。
- 当 $x < -1$ 时，$1-x^{2} < 0$，$y''<0$，曲线凸。
- 当 $-1 < x < 1$ 时，$1-x^{2} > 0$，$y''>0$，曲线凹。
- 当 $x > 1$ 时，$1-x^{2} < 0$，$y''<0$，曲线凸。

步骤4：求拐点坐标
- $x=-1$：$y=\ln(1+1)=\ln 2$，拐点 $(-1,\ \ln 2)$
- $x=1$：$y=\ln(1+1)=\ln 2$，拐点 $(1,\ \ln 2)$

答案（2）
- 凸区间：$(-\infty,\ -1)$ 和 $(1,\ +\infty)$
- 凹区间：$(-1,\ 1)$
- 拐点：$(-1,\ \ln 2)$ 和 $(1,\ \ln 2)$

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难度评级：★★☆☆☆
（基础求导与二阶导数符号分析，无复杂运算）