人邮高数 第2章 第2-7-2题

[AI解答]

[AI解答]

解：
函数为 $y = \sin 2x - x$，定义域为 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$。

第一步：求导数
$$
y' = \frac{d}{dx}(\sin 2x - x) = 2\cos 2x - 1.
$$

第二步：求驻点
令 $y' = 0$，得
$$
2\cos 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos 2x = \frac{1}{2}.
$$
在区间 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 内，$2x \in [-\pi, \pi]$。
满足 $\displaystyle \cos 2x = \frac{1}{2}$ 的解为
$$
2x = -\frac{\pi}{3} \quad \text{或} \quad 2x = \frac{\pi}{3}.
$$
即
$$
x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{\pi}{6}.
$$

第三步：计算函数值
计算端点与驻点处的函数值：

- 当 $\displaystyle x = -\frac{\pi}{2}$ 时，
$$
y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin(-\pi) - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.
$$

- 当 $\displaystyle x = -\frac{\pi}{6}$ 时，
$$
y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}.
$$

- 当 $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ 时，
$$
y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}.
$$

- 当 $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ 时，
$$
y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi) - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}.
$$

第四步：比较大小
比较四个数值：
$\displaystyle \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$，
$\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} \approx -0.8660 + 0.5236 = -0.3424$，
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \approx 0.8660 - 0.5236 = 0.3424$，
$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$。

因此最大值为 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$，在 $\displaystyle x = -\frac{\pi}{2}$ 处取得；
最小值为 $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$，在 $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ 处取得。

答案：
最大值 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$，最小值 $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$。